Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2022

a) [1,5 puntos] Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos $A = (a,\,0,\,1)$, $B = (1,\,3,\,0)$, $C = (0,\,1,\,0)$ y $D = (1,\,1,\,1)$, con $a \in \mathbb{R}$. Halle los valores de $a$ para que el volumen de dicho tetraedro sea 1.

b) [1 punto] Enuncie el teorema de Bolzano. Utilice este teorema para razonar que la función

$f(x) = \left( 2e^x - 8x - 3 \right) / \left( x^2 + 2 \right)$

corta al eje de abscisas al menos una vez.

$\textbf{a) [1,5 puntos] Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos } \boldsymbol{A = (a,\,0,\,1)}\textbf{, } \boldsymbol{B = (1,\,3,\,0)}\textbf{, } \boldsymbol{C = (0,\,1,\,0)}\textbf{ y } \boldsymbol{D = (1,\,1,\,1)}\textbf{, con } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{. Halle los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que el volumen de dicho tetraedro sea 1.}$











El volumen de un tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de las tres aristas que concurren en uno de sus vértices. Las tomamos desde $A$.

$\overrightarrow{AB}=(1-a,\,3,\,-1)$

$\overrightarrow{AC}=(-a,\,1,\,-1)$

$\overrightarrow{AD}=(1-a,\,1,\,0)$





$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\begin{vmatrix}1-a&3&-1\\ -a&1&-1\\ 1-a&1&0\end{vmatrix}$

Desarrollando por la tercera fila, que es la que tiene el cero:

$=(1-a)\begin{vmatrix}3&-1\\1&-1\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1-a&-1\\-a&-1\end{vmatrix}=(1-a)(-2)-\left(-1+a-a\right)$

$=-2+2a+1=2a-1$

Imponemos que el volumen valga $1$.

$V=\dfrac{|2a-1|}{6}=1\Rightarrow |2a-1|=6\Rightarrow\begin{cases}2a-1=6\Rightarrow a=\dfrac{7}{2}\\[4pt] 2a-1=-6\Rightarrow a=-\dfrac{5}{2}\end{cases}$

El volumen del tetraedro vale $1$ para $a=\dfrac{7}{2}$ y para $a=-\dfrac{5}{2}$.

$\textbf{b) [1 punto] Enuncie el teorema de Bolzano. Utilice este teorema para razonar que la función}$

$\boldsymbol{f(x) = \left( 2e^x - 8x - 3 \right) / \left( x^2 + 2 \right)}$

$\textbf{corta al eje de abscisas al menos una vez.}$

Enunciado del teorema: si una función $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y toma valores de signo contrario en sus extremos, es decir, $f(a)\cdot f(b)<0$, entonces existe al menos un punto $c\in(a,b)$ en el que $f(c)=0$.

Comprobamos las hipótesis en un intervalo adecuado.

i) El denominador $x^2+2$ no se anula nunca, porque $x^2+2\geq2>0$ para todo $x$. La función es, pues, un cociente de funciones continuas con denominador no nulo, y por tanto continua en todo $\mathbb{R}$; en particular lo es en $[0,3]$.

ii) Evaluamos en los extremos:

$f(0)=\dfrac{2-0-3}{0+2}=-\dfrac{1}{2}<0$

$f(3)=\dfrac{2e^3-24-3}{9+2}=\dfrac{2e^3-27}{11}\approx1{,}1974>0$

$f(0)\cdot f(3)<0$

Se cumplen las hipótesis del teorema de Bolzano, luego existe al menos un $c\in(0,3)$ con $f(c)=0$: la gráfica de $f$ corta al eje de abscisas al menos una vez.