Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · Aragón · 2024

Dados los puntos $P_{1}(-2, 1, 1)$, $P_{2}(0, a, -2)$, $P_{3}(-1, 1, -1)$ y $P_{4}(1, 3, -3)$, se pide:

a) Calcule los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que el tetraedro con vértices $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ y $P_{4}$ tenga volumen $1/3$. [1,2 puntos]

b) Calcule el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que los cuatro puntos sean coplanarios. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ para que el tetraedro con vértices } \boldsymbol{P_{1}}\textbf{, } \boldsymbol{P_{2}}\textbf{, } \boldsymbol{P_{3}}\textbf{ y } \boldsymbol{P_{4}}\textbf{ tenga volumen } \boldsymbol{1/3}\textbf{. [1,2 puntos]}$

El volumen del tetraedro que determinan cuatro puntos es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que parten de uno cualquiera de ellos hacia los otros tres. Tomamos como origen el punto $P_{1}$.











$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(0,a,-2)-(-2,1,1)=(2,\,a-1,\,-3)$

$\overrightarrow{P_{1}P_{3}}=(-1,1,-1)-(-2,1,1)=(1,\,0,\,-2)$

$\overrightarrow{P_{1}P_{4}}=(1,3,-3)-(-2,1,1)=(3,\,2,\,-4)$





Calculamos el producto mixto como el determinante que forman los tres vectores por filas, desarrollándolo por la regla de Sarrus:

$\left[\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\overrightarrow{P_{1}P_{3}},\overrightarrow{P_{1}P_{4}}\right]=\begin{vmatrix}2&a-1&-3\\1&0&-2\\3&2&-4\end{vmatrix}$

$=0-6(a-1)-6-\left[0-8-4(a-1)\right]=-6a+6-6+8+4a-4=4-2a$

Imponemos que el volumen valga $\frac{1}{3}$:

$V=\dfrac{1}{6}\left|4-2a\right|=\dfrac{1}{3}\ \Rightarrow\ \left|4-2a\right|=2$

El valor absoluto obliga a estudiar los dos signos posibles:

$\begin{cases}4-2a=2\ \Rightarrow\ a=1\\4-2a=-2\ \Rightarrow\ a=3\end{cases}$

Hay dos valores del parámetro que resuelven el problema: $a=1$ y $a=3$.

$\textbf{b) Calcule el valor de } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ para que los cuatro puntos sean coplanarios. [0,8 puntos]}$

Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores del apartado anterior son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto se anula. Geométricamente el tetraedro degenera y su volumen es nulo, así que basta anular la expresión ya obtenida.

$\left[\overrightarrow{P_{1}P_{2}},\overrightarrow{P_{1}P_{3}},\overrightarrow{P_{1}P_{4}}\right]=4-2a=0\ \Rightarrow\ a=2$

Los cuatro puntos son coplanarios únicamente para $a=2$.