Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2025

Pregunta 3.1. Sean los puntos $A(1,1,2)$, $B(2,-1,0)$, $C(-2,0,3)$ y $D(2,-3,-1)$ y la recta:

$r \equiv \dfrac{x-1}{2} = y+1 = \dfrac{z}{-1}$

a) (0.5 puntos) Compruebe que los puntos no son coplanarios y calcule el volumen del tetraedro determinado por ellos.

b) (1 punto) Calcule el área de la cara del tetraedro $ABCD$ determinada por los puntos $A$, $B$ y $C$ y la longitud de la altura del tetraedro que parte del vértice $D$.

c) (1 punto) Calcule la distancia entre la recta $r$ y la recta determinada por los puntos $B$ y $D$.

$\textbf{a) (0,5 puntos) Compruebe que los puntos no son coplanarios y calcule el volumen del tetraedro determinado por ellos.}$

Cuatro puntos son coplanarios si los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros tres son linealmente dependientes, es decir, si su determinante se anula. Formamos esos vectores desde $A$.

$\overrightarrow{AB}=(1,-2,-2),\quad \overrightarrow{AC}=(-3,-1,1),\quad \overrightarrow{AD}=(1,-4,-3)$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\begin{vmatrix}1 & -2 & -2\\ -3 & -1 & 1\\ 1 & -4 & -3\end{vmatrix}=-3\neq 0$

Al no anularse el producto mixto, los cuatro puntos no están en un mismo plano. El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto de ese producto mixto.

$V=\dfrac{1}{6}\left|-3\right|=\dfrac{1}{2}$

El volumen del tetraedro es de $\frac{1}{2}$ unidades cúbicas.

$\textbf{b) (1 punto) Calcule el área de la cara del tetraedro } \boldsymbol{ABCD}\textbf{ determinada por los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{ y la longitud de la altura del tetraedro que parte del vértice } \boldsymbol{D}\textbf{.}$

El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados.

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 1 & -2 & -2\\ -3 & -1 & 1\end{vmatrix}=(-4,5,-7)$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\sqrt{16+25+49}=\dfrac{1}{2}\sqrt{90}=\dfrac{3\sqrt{10}}{2}$

Para la altura no hace falta hallar el pie de la perpendicular: basta tomar esa cara como base y usar la fórmula del volumen de la pirámide, con el volumen ya calculado en el apartado anterior.

$V=\dfrac{1}{3}\,\mathcal{A}\,h \Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{3\sqrt{10}}{2}\cdot h$

$h=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$

El área de la cara $ABC$ es $\frac{3\sqrt{10}}{2}$ unidades de superficie y la altura desde $D$ mide $\frac{\sqrt{10}}{10}\approx 0{,}316$ unidades.



$\textbf{c) (1 punto) Calcule la distancia entre la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ y la recta determinada por los puntos } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{D}\textbf{.}$

De la ecuación continua de $r$ leemos un punto y su director, y calculamos el director de la otra recta.

$P_r(1,-1,0),\quad \vec v_r=(2,1,-1),\quad \overrightarrow{BD}=(0,-2,-1)$

Antes de aplicar ninguna fórmula comprobamos la posición relativa mediante el producto mixto con el vector que une un punto de cada recta.

$\vec v_r\times\overrightarrow{BD}=\begin{vmatrix}\vec i & \vec j & \vec k\\ 2 & 1 & -1\\ 0 & -2 & -1\end{vmatrix}=(-3,2,-4)$

$\overrightarrow{P_rB}=(1,0,0) \Rightarrow \overrightarrow{P_rB}\cdot\left(\vec v_r\times\overrightarrow{BD}\right)=-3\neq 0$

Los directores no son proporcionales y el producto mixto no se anula, luego las rectas se cruzan. Aplicamos entonces la fórmula de la distancia entre rectas que se cruzan.

$d(r,BD)=\dfrac{\left|\overrightarrow{P_rB}\cdot\left(\vec v_r\times\overrightarrow{BD}\right)\right|}{\left|\vec v_r\times\overrightarrow{BD}\right|}=\dfrac{3}{\sqrt{9+4+16}}=\dfrac{3\sqrt{29}}{29}$

La distancia entre las dos rectas es $\frac{3\sqrt{29}}{29}\approx 0{,}557$ unidades de longitud.