Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2021

En $\mathbb{R}^3$ se dan los puntos $A = (3, 1, 1)$, $B = (0, 0, 1)$, $C = (4, 1, 2)$ y $D = (1, 1, t)$, donde $t$ es un valor real.

a) ¿Para qué valor de $t$ los cuatro puntos son coplanarios? [1 punto]
b) Encuentre el valor de $t$ para que el tetraedro (irregular) que forman los cuatro puntos tenga un volumen de $5u^3$. [1,5 puntos]
Nota: El volumen de un tetraedro definido por los vectores $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$ y $\vec{v}_3$ es igual a un sexto del valor absoluto del determinante de la matriz formada por los tres vectores, $V = \dfrac{1}{6}\left|\det(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3)\right|$.

$\textbf{a) ¿Para qué valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ los cuatro puntos son coplanarios? (1 punto)}$

Cuatro puntos son coplanarios si los tres vectores que se obtienen tomando uno de ellos como origen son linealmente dependientes, es decir, si el determinante que forman es cero. Tomamos $A$ como origen.

$\overrightarrow{AB}=(0,0,1)-(3,1,1)=(-3,-1,0)$

$\overrightarrow{AC}=(4,1,2)-(3,1,1)=(1,0,1)$

$\overrightarrow{AD}=(1,1,t)-(3,1,1)=(-2,0,t-1)$

$\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)=\begin{vmatrix} -3 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & t-1 \end{vmatrix}$

Desarrollamos por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$=-(-1)\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & t-1 \end{vmatrix}=1\cdot\left[(t-1)+2\right]=t+1$

$t+1=0 \Rightarrow t=-1$

Los cuatro puntos son coplanarios cuando $t=-1$.

$\textbf{b) Encuentre el valor de } \boldsymbol{t}\textbf{ para que el tetraedro (irregular) que forman los cuatro puntos tenga un volumen de } \boldsymbol{5u^3}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Aplicamos la fórmula que da el enunciado con el determinante que ya hemos calculado.

$V=\dfrac{1}{6}\left|\det\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right)\right|=\dfrac{|t+1|}{6}$

$\dfrac{|t+1|}{6}=5 \Rightarrow |t+1|=30$

El valor absoluto da lugar a dos casos.

$t+1=30 \Rightarrow t=29$

$t+1=-30 \Rightarrow t=-31$

Las dos soluciones son válidas: corresponden a colocar el punto $D$ a un lado o al otro del plano que determinan $A$, $B$ y $C$, y en ambos casos el tetraedro tiene el mismo volumen.

El tetraedro tiene volumen $5\ \text{u}^3$ para $t=29$ y para $t=-31$.