Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Se consideran las matrices:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.$

a) Resuelva la ecuación matricial $AX+X=B$. [1 punto]

b) Responda solo a uno de los dos apartados siguientes: [1 punto]

b1) Calcule el determinante de la matriz $(2C)^{100}$ aplicando propiedades de los determinantes.

b2) Justifique si las matrices $A$ y $AB$ son invertibles.

$\textbf{a) (1 punto) Resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{AX+X=B}\textbf{.}$

Se saca $X$ como factor común por la derecha. Hay que escribir el segundo sumando como $IX$, porque lo que multiplica a $X$ tiene que ser una matriz:

$AX+X=B\;\Rightarrow\;AX+IX=B\;\Rightarrow\;(A+I)X=B\;\Rightarrow\;X=(A+I)^{-1}B$

La matriz $X$ es de tamaño $3\times 2$, el mismo que $B$. Para poder despejar así hace falta que $A+I$ tenga inversa, cosa que se comprueba con su determinante:

$A+I=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix},\qquad |A+I|=2\cdot(2\cdot 2-0\cdot 2)=8\neq 0$

Se calcula la inversa por la matriz adjunta:

$(A+I)^{-1}=\dfrac{1}{|A+I|}\left(\operatorname{adj}(A+I)\right)^{t}=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & -4 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac12 & \frac14 & -\frac14 \\[2pt] 0 & \frac12 & 0 \\[2pt] 0 & -\frac12 & \frac12 \end{pmatrix}$

Solo queda multiplicar por $B$:

$X=\begin{pmatrix} \frac12 & \frac14 & -\frac14 \\[2pt] 0 & \frac12 & 0 \\[2pt] 0 & -\frac12 & \frac12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac32 & 0 \\[2pt] \frac12 & 0 \\[2pt] -1 & -1 \end{pmatrix}$

Esa es la solución de la ecuación matricial, como se comprueba sin más que calcular $AX+X$ y recuperar $B$.

$\textbf{b1) (1 punto) Calcule el determinante de } \boldsymbol{(2C)^{100}}\textbf{ aplicando propiedades de los determinantes.}$

Se usan dos propiedades. Al multiplicar una matriz de orden $n$ por un número, el determinante queda multiplicado por ese número tantas veces como filas tiene la matriz; y el determinante de un producto es el producto de los determinantes, así que el de una potencia es la potencia del determinante:

$|2C|=2^{3}|C|,\qquad \left|M^{n}\right|=|M|^{n}$

La matriz $C$ es triangular inferior, de modo que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal:

$|C|=1\cdot 1\cdot 1=1$

$\left|(2C)^{100}\right|=|2C|^{100}=\left(2^{3}|C|\right)^{100}=\left(2^{3}\right)^{100}=2^{300}=8^{100}$

$\textbf{b2) (1 punto) Justifique si las matrices } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{AB}\textbf{ son invertibles.}$

Una matriz tiene inversa si es cuadrada y su determinante no se anula. La matriz $A$ cumple las dos cosas: es de orden tres y su determinante, desarrollado por la primera columna, vale

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot(1\cdot 1-0\cdot 2)=1\neq 0$

luego $A$ es invertible.

El producto $AB$ existe (las dimensiones encajan: $3\times 3$ por $3\times 2$) y es una matriz $3\times 2$. Al no ser cuadrada no tiene determinante y no puede ser invertible.

En el examen basta con responder a uno de los dos apartados, b1) o b2).