Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2026

Un bloque de masa $m=\mathrm{0,50}$ kg está unido al extremo de un muelle horizontal de constante elástica desconocida. El sistema oscila sin rozamiento. En un experimento se observa que el bloque tarda 0,40 s en pasar desde la posición de máxima elongación positiva hasta la máxima elongación negativa. Además, se sabe que la energía mecánica total del sistema es: $E=\mathrm{1,8}$ J.

a) Determina el período, la frecuencia y la constante elástica del muelle. [0,75 puntos]

b) Calcula la amplitud de la oscilación. [0,5 puntos]

c) Escribe la ecuación del movimiento del bloque suponiendo que en $t=0$ se encuentra en la elongación máxima positiva. [0,75 puntos]

d) Determina la velocidad máxima y la aceleración máxima del bloque. [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{stica}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{muelle.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ir de la máxima elongación positiva a la máxima elongación negativa es recorrer medio ciclo, de modo que ese tiempo es medio período:

${\displaystyle \frac{T}{2}}=\mathrm{0,40}\text{ s}\Rightarrow T=\mathrm{0,80}\text{ s}$

$f={\displaystyle \frac{1}{T}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,80}}}=\mathrm{1,25}\text{ Hz}$

La frecuencia angular es:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot \mathrm{1,25}=\mathrm{7,85}\text{ rad/s}$

Y como en un movimiento armónico simple producido por un muelle se cumple $\omega =\sqrt{k\mathrm{/}m}$:

$k=m{\omega }^2=\mathrm{0,50}\cdot {\mathrm{7,85}}^2$

$k=\mathrm{30,8}\text{ N/m}$

El período es de $\mathrm{0,80}\text{ s}$, la frecuencia de $\mathrm{1,25}\text{ Hz}$ y la constante elástica del muelle vale $\mathrm{30,8}\text{ N/m}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{oscilaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En un oscilador armónico sin rozamiento la energía mecánica se conserva y coincide con la energía potencial elástica en los extremos, donde la velocidad es nula:

$E={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2\Rightarrow A=\sqrt{{\displaystyle \frac{2E}{k}}}$

$A=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,8}}{\mathrm{30,8}}}}$

$A=\mathrm{0,34}\text{ m}$

El bloque oscila con una amplitud de $\mathrm{0,34}\text{ m}$, es decir, se separa 34 cm de la posición de equilibrio a cada lado.



La elongación de un movimiento armónico simple responde a:

$x(t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$

Imponiendo la condición inicial $x(0)=A$:

$A=A\cos {\phi }_0\Rightarrow \cos {\phi }_0=1\Rightarrow {\phi }_0=0\text{ rad}$

Se sustituyen la amplitud y la frecuencia angular ya calculadas:

$x(t)=\mathrm{0,34}\cos (\mathrm{7,85}t)\text{ m}$

con $t$ en segundos. Se ha elegido el coseno precisamente porque el bloque parte del extremo; con el seno haría falta una fase inicial de $\pi \mathrm{/}2$ y la ecuación sería la misma.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{bloque.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Derivando la elongación se obtienen la velocidad y la aceleración, cuyos valores máximos son:

$v_{\max }=\omega A=\mathrm{7,85}\cdot \mathrm{0,34}$

$v_{\max }=\mathrm{2,68}\text{ m/s}$

$a_{\max }={\omega }^{2}A={\mathrm{7,85}}^2\cdot \mathrm{0,34}$

$a_{\max }=\mathrm{21,1}{\text{m/s}}^2$

El bloque alcanza una velocidad máxima de $\mathrm{2,68}\text{ m/s}$ al pasar por la posición de equilibrio, y una aceleración máxima de $\mathrm{21,1}{\text{m/s}}^2$ en los extremos, que es justo donde la velocidad se anula.