Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Sean las matrices $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{bmatrix}$

a) Obtenga la inversa de la matriz $A^T + I$, donde $I$ es la matriz unidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Resuelva la ecuación matricial $A^T X - I = 2B - X$ ($A^T$ es la matriz traspuesta de $A$). [1,25 puntos]

$\textbf{a) Obtenga la inversa de la matriz } \boldsymbol{A^T + I}\textbf{, donde } \boldsymbol{I}\textbf{ es la matriz unidad de orden 3. [1,25 puntos]}$

Trasponemos $A$, le sumamos la identidad y comprobamos que el determinante no es nulo antes de invertir.

$A^T+I=\begin{bmatrix}0&2&1\\2&3&3\\3&5&1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\2&4&3\\3&5&2\end{bmatrix}$

$\left|A^T+I\right|=1(8-15)-2(4-9)+1(10-12)=-7+10-2=1\neq 0$

Al ser el determinante distinto de cero existe la inversa, y la calculamos por el método de los adjuntos.

$\operatorname{Adj}\left(A^T+I\right)=\begin{bmatrix}-7&5&-2\\1&-1&1\\2&-1&0\end{bmatrix}$

$\left(A^T+I\right)^{-1}=\dfrac{1}{1}\left[\operatorname{Adj}\left(A^T+I\right)\right]^t=\begin{bmatrix}-7&1&2\\5&-1&-1\\-2&1&0\end{bmatrix}$

Se comprueba multiplicando: $\left(A^T+I\right)\cdot\left(A^T+I\right)^{-1}=I$.

$\textbf{b) Resuelva la ecuación matricial } \boldsymbol{A^T X - I = 2B - X}\textbf{ (} \boldsymbol{A^T}\textbf{ es la matriz traspuesta de } \boldsymbol{A}\textbf{). [1,25 puntos]}$

Agrupamos en un miembro los dos términos con la incógnita, que en ambos está multiplicada por la izquierda, y sacamos factor común por ese lado.

$A^TX+X=2B+I \Rightarrow \left(A^T+I\right)X=2B+I \Rightarrow X=\left(A^T+I\right)^{-1}(2B+I)$

$2B+I=\begin{bmatrix}-2&0&2\\0&-2&2\\4&2&-6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0&2\\0&-1&2\\4&2&-5\end{bmatrix}$

Usamos la inversa del apartado anterior.

$X=\begin{bmatrix}-7&1&2\\5&-1&-1\\-2&1&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}-1&0&2\\0&-1&2\\4&2&-5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}15&3&-22\\-9&-1&13\\2&-1&-2\end{bmatrix}$

Se comprueba el resultado: $\left(A^T+I\right)X=\begin{bmatrix}-1&0&2\\0&-1&2\\4&2&-5\end{bmatrix}=2B+I$.

La matriz buscada es $X=\begin{bmatrix}15&3&-22\\-9&-1&13\\2&-1&-2\end{bmatrix}$.