Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} m & 1 \\ 0 & -m \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ con $m \in \mathbb{R}$

a) Calcule el valor de $m$ para que se verifique la igualdad $A^2 - A = B$. [1 punto]

b) Calcule $m$ para que la matriz $A + B - I$ tenga inversa, siendo $I$ la matriz unidad de orden 2. [0,75 puntos]

c) Para $m = 2$ obtenga la inversa de la matriz $A + B - I$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule el valor de } \boldsymbol{m}\textbf{ para que se verifique la igualdad } \boldsymbol{A^2 - A = B}\textbf{. [1 punto]}$

Calculamos el primer miembro y lo comparamos con $B$ elemento a elemento.

$A^2=\begin{pmatrix}m&1\\0&-m\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}m&1\\0&-m\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}m^2&m-m\\0&m^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}m^2&0\\0&m^2\end{pmatrix}$

$A^2-A=\begin{pmatrix}m^2-m&-1\\0&m^2+m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\0&2\end{pmatrix}$

$\begin{cases} m^2-m=0 \Rightarrow m=0\ \text{o}\ m=1\\ m^2+m=2 \Rightarrow m=1\ \text{o}\ m=-2 \end{cases}$

El único valor que cumple las dos condiciones a la vez es $m=1$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{m}\textbf{ para que la matriz } \boldsymbol{A + B - I}\textbf{ tenga inversa, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz unidad de orden 2. [0,75 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero.

$A+B-I=\begin{pmatrix}m&1\\0&-m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&-1\\0&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}m-1&0\\0&1-m\end{pmatrix}$

$|A+B-I|=(m-1)(1-m)=-(m-1)^2$

$-(m-1)^2\neq 0 \Rightarrow m\neq 1$

La matriz $A+B-I$ tiene inversa para cualquier valor de $m$ distinto de 1.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{m = 2}\textbf{ obtenga la inversa de la matriz } \boldsymbol{A + B - I}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Para $m=2$ la matriz es diagonal, y su determinante no es nulo, así que existe la inversa.

$A+B-I=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} \qquad |A+B-I|=-1\neq 0$

$(A+B-I)^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

La matriz coincide con su propia inversa, como se comprueba multiplicándolas: $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.