Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Dadas las matrices $A = \begin{bmatrix} k & -1 & 1 \\ 1 & 0 & k \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} k & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

a) Calcule el valor de $k$ para el cual se verifica que $A^t \cdot B = C$. [0,75 puntos]

b) Calcule el valor o valores de $k$ para los cuales existe la inversa de $A \cdot C$ y calcule la inversa de $A \cdot C$ para el caso $k = 0$. [1 punto]

c) Calcule el valor de $k$ para el cual se cumple que $B^2 = B - I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule el valor de } \boldsymbol{k}\textbf{ para el cual se verifica que } \boldsymbol{A^t \cdot B = C}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Dos matrices son iguales cuando lo son elemento a elemento, así que calculamos el producto y comparamos las seis posiciones con las de $C$.

$A^t=\begin{bmatrix}k&1\\-1&0\\1&k\end{bmatrix} \Rightarrow A^t\cdot B=\begin{bmatrix}k&1\\-1&0\\1&k\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}k&1\\-1&0\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}k^2-1&k\\-k&-1\\0&1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}k^2-1&k\\-k&-1\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1\\-1&-1\\0&1\end{bmatrix}$

La segunda posición de la primera fila da directamente $k=1$, y ese valor cumple también las demás: $k^2-1=0$ y $-k=-1$.

El valor pedido es $k=1$.

$\textbf{b) Calcule el valor o valores de } \boldsymbol{k}\textbf{ para los cuales existe la inversa de } \boldsymbol{A \cdot C}\textbf{ y calcule la inversa de } \boldsymbol{A \cdot C}\textbf{ para el caso } \boldsymbol{k = 0}\textbf{. [1 punto]}$

El producto de una matriz $2\times 3$ por otra $3\times 2$ es cuadrada de orden 2, y tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$A\cdot C=\begin{bmatrix}k&-1&1\\1&0&k\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}0&1\\-1&-1\\0&1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1&k+2\\0&k+1\end{bmatrix}$

$|A\cdot C|=1\cdot(k+1)-0=k+1$

$k+1\neq 0 \Rightarrow k\neq -1$

Existe la inversa para todo valor de $k$ distinto de $-1$. Para $k=0$:

$A\cdot C=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix} \qquad |A\cdot C|=1$

$(A\cdot C)^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix}$

Se comprueba: $\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$.

$\textbf{c) Calcule el valor de } \boldsymbol{k}\textbf{ para el cual se cumple que } \boldsymbol{B^2 = B - I}\textbf{, siendo } \boldsymbol{I}\textbf{ la matriz identidad de orden 2. [0,75 puntos]}$

Calculamos los dos miembros y los igualamos posición a posición.

$B^2=\begin{bmatrix}k&1\\-1&0\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}k&1\\-1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}k^2-1&k\\-k&-1\end{bmatrix} \qquad B-I=\begin{bmatrix}k-1&1\\-1&-1\end{bmatrix}$

$\begin{cases} k^2-1=k-1\\ k=1\\ -k=-1\\ -1=-1 \end{cases}$

La primera ecuación da $k^2-k=0$, es decir $k=0$ o $k=1$; las otras dos obligan a $k=1$, que es el único valor común.

El valor pedido es $k=1$.