Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

PREGUNTA 2: ÁLGEBRA (2.5 puntos)

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2

2.2 Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ y el vector $b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, se pide:

2.2.1 Resolver el sistema de ecuaciones $Ax = Bx + b$. (1 punto)
2.2.2 Hallar el valor de $\det(A^5 (2B)^{-1})$. (0.75 puntos)
2.2.3 Calcular los valores de $\alpha$ y $\beta$, si existen, que satisfacen $\alpha A + \beta B = I$, siendo $I$ la matriz identidad. (0.75 puntos)

$\textbf{2.2.1 Resolver el sistema de ecuaciones } \boldsymbol{Ax=Bx+b}\textbf{. (1 punto)}$

Agrupamos la incógnita en un mismo miembro:

$Ax=Bx+b\Rightarrow (A-B)x=b$

Calculamos la matriz de coeficientes del sistema:

$A-B=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5&-2\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&1\\-1&-2\end{pmatrix}$

Como

$\det(A-B)=\begin{vmatrix}-3&1\\-1&-2\end{vmatrix}=6+1=7\neq0$

el sistema es compatible determinado. Escrito por extenso, con $x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$:

$\begin{cases} -3x_1+x_2=1\\ -x_1-2x_2=0 \end{cases}$

De la segunda ecuación $x_1=-2x_2$, y sustituyendo en la primera:

$6x_2+x_2=1\Rightarrow x_2=\dfrac{1}{7}\Rightarrow x_1=-\dfrac{2}{7}$

Por tanto:

$x=\begin{pmatrix}-\dfrac{2}{7}\\[6pt] \dfrac{1}{7}\end{pmatrix}$

$\textbf{2.2.2 Hallar el valor de } \boldsymbol{\det\left(A^{5}(2B)^{-1}\right)}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Usamos las propiedades del determinante de un producto, de una potencia, de una matriz inversa y del producto de una matriz de orden 2 por un escalar:

$\det\left(A^{5}(2B)^{-1}\right)=\dfrac{\left(\det A\right)^{5}}{\det(2B)}=\dfrac{\left(\det A\right)^{5}}{2^{2}\det B}$

Calculamos los dos determinantes:

$\det A=\begin{vmatrix}2&-1\\1&1\end{vmatrix}=3,\qquad \det B=\begin{vmatrix}5&-2\\2&3\end{vmatrix}=19$

Sustituyendo:

$\det\left(A^{5}(2B)^{-1}\right)=\dfrac{3^{5}}{4\cdot19}=\dfrac{243}{76}\approx3{,}1974$

$\textbf{2.2.3 Calcular los valores de } \boldsymbol{\alpha}\textbf{ y } \boldsymbol{\beta}\textbf{, si existen, que satisfacen } \boldsymbol{\alpha A+\beta B=I}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Escribimos la igualdad matricial:

$\alpha\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix}5&-2\\2&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Igualando elemento a elemento se obtiene un sistema de cuatro ecuaciones con dos incógnitas:

$\begin{cases} 2\alpha+5\beta=1\\ -\alpha-2\beta=0\\ \alpha+2\beta=0\\ \alpha+3\beta=1 \end{cases}$

La segunda y la tercera ecuación son equivalentes y dan $\alpha=-2\beta$. Sustituyendo en la primera:

$-4\beta+5\beta=1\Rightarrow \beta=1\Rightarrow \alpha=-2$

Como el sistema tiene más ecuaciones que incógnitas, hay que comprobar que la solución cumple también la cuarta:

$\alpha+3\beta=-2+3=1$

Por tanto, los valores pedidos existen y son:

$\alpha=-2,\qquad \beta=1$