Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ a & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$.

a) [1,25 puntos] Calcule los valores del parámetro $a$ para que $A \cdot B$ sea invertible. Justifique su respuesta.

b) [1,25 puntos] Calcule la inversa de $A \cdot B$ en función de $a$.

$\textbf{a) [1,25 puntos] Calcule los valores del parámetro } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{A \cdot B}\textbf{ sea invertible. Justifique su respuesta.}$

El producto de una matriz $2\times3$ por otra $3\times2$ es una matriz cuadrada de orden dos, que es invertible si y solo si su determinante no se anula. Empezamos calculando el producto.

$A\cdot B=\begin{pmatrix}1&2&a\\1&-1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&3\\a&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2a&3+2a\\1-a&1\end{pmatrix}$

$|A\cdot B|=(1+2a)\cdot1-(3+2a)(1-a)=1+2a-3+3a-2a+2a^2$

$|A\cdot B|=2a^2+3a-2$

$2a^2+3a-2=0\Rightarrow a=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{4}=\dfrac{-3\pm5}{4}$

$a=\dfrac{1}{2},\qquad a=-2$

La matriz $A\cdot B$ es invertible para todo $a\in\mathbb{R}$ salvo $a=\dfrac{1}{2}$ y $a=-2$, que son los valores que anulan su determinante.

$\textbf{b) [1,25 puntos] Calcule la inversa de } \boldsymbol{A \cdot B}\textbf{ en función de } \boldsymbol{a}\textbf{.}$

Para una matriz de orden dos la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo entre el determinante.

$(A\cdot B)^{-1}=\dfrac{1}{2a^2+3a-2}\begin{pmatrix}1&-(3+2a)\\-(1-a)&1+2a\end{pmatrix}$

$(A\cdot B)^{-1}=\dfrac{1}{2a^2+3a-2}\begin{pmatrix}1&-3-2a\\a-1&1+2a\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando por la matriz de partida:

$\dfrac{1}{2a^2+3a-2}\begin{pmatrix}1&-3-2a\\a-1&1+2a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1+2a&3+2a\\1-a&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

La inversa existe para $a\neq\dfrac{1}{2}$ y $a\neq-2$, y vale $\dfrac{1}{2a^2+3a-2}\begin{pmatrix}1&-3-2a\\a-1&1+2a\end{pmatrix}$.