Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Sea el sistema de ecuaciones $A \cdot X - B = X$, con $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & m \end{pmatrix}$, tal que $m \in \mathbb{R}$, y $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Además, la matriz $X$ es de dimensión $2 \times 2$.

a) [1,5 puntos] ¿Para qué valores del parámetro $m$ el sistema anterior tiene solución única?

b) [1 punto] Para $m = 1$, resuelva el sistema y obtenga el valor de $X$.

$\textbf{a) [1,5 puntos] ¿Para qué valores del parámetro } \boldsymbol{m}\textbf{ el sistema anterior tiene solución única?}$

Despejamos la matriz incógnita agrupando los términos en $X$, sin olvidar que el producto de matrices no es conmutativo y que $X=I\cdot X$.

$A\cdot X-B=X\Rightarrow A\cdot X-X=B\Rightarrow (A-I)\cdot X=B$

$A-I=\begin{pmatrix}2&1\\1&m\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&m-1\end{pmatrix}$

La ecuación matricial tiene solución única cuando $A-I$ es invertible, es decir, cuando su determinante no se anula.

$|A-I|=\begin{vmatrix}1&1\\1&m-1\end{vmatrix}=(m-1)-1=m-2$

$|A-I|=0\Rightarrow m=2$

El sistema tiene solución única, $X=(A-I)^{-1}B$, para todo $m\neq2$.

$\textbf{b) [1 punto] Para } \boldsymbol{m = 1}\textbf{, resuelva el sistema y obtenga el valor de } \boldsymbol{X}\textbf{.}$

Para $m=1$ se cumple $m\neq2$, luego la matriz es invertible y podemos despejar.

$A-I=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix},\qquad |A-I|=-1$

Calculamos la inversa con la fórmula de la matriz de orden dos, cambiando la diagonal principal de sitio y el signo a la secundaria.

$(A-I)^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}$

$X=(A-I)^{-1}\cdot B=\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix}0\cdot1+1\cdot1&0\cdot1+1\cdot0\\1\cdot1-1\cdot1&1\cdot1-1\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$A\cdot X-B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=X$

La solución es la matriz identidad, $X=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.