Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Considere las matrices presentadas a continuación,

$A = \begin{pmatrix} a & 0 & 3 \\ 1 & 4 & -a \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$

donde el parámetro $a \in \mathbb{R}$. Responda a las siguientes cuestiones: [2,5 puntos]

a) Halle los valores del parámetro $a$ para los que $A$ tiene inversa. [1 punto]

b) Considere $a = 0$, calcule la matriz $X$ que cumple: [1,5 puntos]

$AXB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$\textbf{a) Halle los valores del parámetro }\boldsymbol{a}\textbf{ para los que }\boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, así que calculamos el determinante en función de $a$ por la regla de Sarrus.

$|A|=\begin{vmatrix}a&0&3\\ 1&4&-a\\ 0&1&1\end{vmatrix}=4a+0+3-\left(0-a^{2}+0\right)=a^{2}+4a+3$

Igualamos a cero para localizar los valores que hay que excluir.

$a^{2}+4a+3=0\Rightarrow a=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\dfrac{-4\pm2}{2}\Rightarrow a=-1,\quad a=-3$

$|A|=(a+1)(a+3)$

Para $a=-1$ y para $a=-3$ el determinante vale cero y la matriz no es invertible; en esos dos casos el rango baja a dos, porque el menor $\begin{vmatrix}4&-a\\ 1&1\end{vmatrix}=4+a$ no se anula para ninguno de los dos.

La matriz $A$ tiene inversa para todo $a\in\mathbb{R}$ salvo $a=-1$ y $a=-3$.

$\textbf{b) Considere }\boldsymbol{a = 0}\textbf{, calcule la matriz }\boldsymbol{X}\textbf{ que cumple: }\boldsymbol{AXB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Llamamos $C$ a la matriz del segundo miembro. Como $A$ es de orden tres y $B$ de orden dos, y el producto $AXB$ es de tamaño $3\times2$, la incógnita $X$ ha de ser también $3\times2$. Despejamos multiplicando por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha, en ese orden.

$AXB=C\Rightarrow A^{-1}AXBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1}\Rightarrow X=A^{-1}CB^{-1}$

Con $a=0$ el determinante vale $|A|=0+0+3=3\neq0$ y el de $B$ vale $|B|=2\neq0$, de modo que las dos inversas existen.

$A=\begin{pmatrix}0&0&3\\ 1&4&0\\ 0&1&1\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}4&3&-12\\ -1&0&3\\ 1&0&0\end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix}1&0\\ -1&2\end{pmatrix},\qquad B^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0\\ 1&1\end{pmatrix}$

Comprobamos que $AA^{-1}=I$ y que $BB^{-1}=I$, y hacemos los dos productos empezando por la izquierda.

$A^{-1}C=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}4&3&-12\\ -1&0&3\\ 1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\ 1&1\\ 0&-1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}11&15\\ -2&-3\\ 2&0\end{pmatrix}$

$X=\left(A^{-1}C\right)B^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}11&15\\ -2&-3\\ 2&0\end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2&0\\ 1&1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}37&15\\ -7&-3\\ 4&0\end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado sustituyendo en la ecuación de partida: $AXB=C$.

La matriz buscada es $X=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix}37&15\\ -7&-3\\ 4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{37}{6}&\frac{5}{2}\\[2pt] -\frac{7}{6}&-\frac{1}{2}\\[2pt] \frac{2}{3}&0\end{pmatrix}$.