Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Dada la siguiente matriz $A \in M_{3x3}$ con $k \in \mathbb{R}$:

$A = \begin{pmatrix} 3 & -k & 0 \\ 1 & 2 & k \\ k & 0 & k \end{pmatrix}$

a) Averiguar los valores de $k$ para los que la matriz $A$ tiene inversa. [0,75 puntos]

b) Calcular la matriz inversa de $A$, cuando $k = 1$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Averiguar los valores de } \boldsymbol{k}\textbf{ para los que la matriz } \boldsymbol{A}\textbf{ tiene inversa. [0,75 puntos]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no se anula, así que se calcula $|A|$ en función del parámetro. Desarrollando por la primera fila:

$|A|=\begin{vmatrix} 3 & -k & 0 \\ 1 & 2 & k \\ k & 0 & k \end{vmatrix}=3\,(2k-0)+k\,(k-k^2)+0$

$|A|=6k+k^2-k^3=-k\,(k^2-k-6)$

$|A|=-k\,(k-3)(k+2)$

Se buscan los valores que anulan el determinante, que son los que dejan a la matriz sin inversa.

$-k\,(k-3)(k+2)=0\ \Rightarrow\ k=0\ ,\quad k=3\ ,\quad k=-2$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $k\in\mathbb{R}-\{-2,\,0,\,3\}$; para esos tres valores el determinante se anula y la matriz no es regular.

$\textbf{b) Calcular la matriz inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{, cuando } \boldsymbol{k = 1}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Se particulariza la matriz y se comprueba con el resultado anterior que el valor $k=1$ sí admite inversa.

$A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\ ,\qquad |A|=-1\cdot(1-3)(1+2)=6\neq 0$

Se calcula por el método de la adjunta, $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\text{Adj}\,A\right)^{t}$. Los nueve adjuntos son:

$\text{Adj}\,A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & -3 & 7 \end{pmatrix}$

Se traspone y se divide entre el determinante.

$A^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 \\ -2 & -1 & 7 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{6} \\[6pt] 0 & \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{2} \\[6pt] -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} & \dfrac{7}{6} \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado multiplicando por la matriz de partida, que debe devolver la identidad.

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I$