Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Hallar dos matrices cuadradas de dimensión 3 tales que al sumar la primera con el doble de la segunda se obtiene la matriz $A$. Y, si se le resta a la primera el doble de la segunda se obtiene la inversa de $A$. [2 puntos]

Llamamos $X$ a la primera matriz e $Y$ a la segunda. Las dos condiciones del enunciado forman un sistema de dos ecuaciones matriciales.

$\left.\begin{array}{r} X+2Y=A \\ X-2Y=A^{-1} \end{array}\right\}$

Sumando las dos ecuaciones desaparece $Y$, y restándolas desaparece $X$, con lo que ambas matrices quedan despejadas en función de $A$ y de su inversa.

$2X=A+A^{-1}\ \Rightarrow\ X=\dfrac{1}{2}\left(A+A^{-1}\right)$

$4Y=A-A^{-1}\ \Rightarrow\ Y=\dfrac{1}{4}\left(A-A^{-1}\right)$

Hace falta, por tanto, la inversa de $A$. Existe porque su determinante no se anula: desarrollando por la segunda fila,

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=1$

Calculamos la inversa por el método de la adjunta, $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,\left(\text{Adj}\,A\right)^{t}$.

$\text{Adj}\,A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

Ya solo queda operar. Para $X$:

$X=\dfrac{1}{2}\left[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}\right]=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

Y para $Y$:

$Y=\dfrac{1}{4}\left[\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}\right]=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix} 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & 0 \end{pmatrix}$

$Y=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -\dfrac{1}{2} & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Se comprueba que las dos matrices cumplen lo pedido: al sumar la primera con el doble de la segunda,

$X+2Y=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=A$

y al restarle el doble de la segunda,

$X-2Y=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \end{pmatrix}=A^{-1}$

Las dos matrices cuadradas de dimensión 3 que pide el enunciado son, por tanto, $X$ e $Y$, y la solución es única porque el sistema matricial se resuelve despejando sin ninguna elección libre.