Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Sean $A$, $B$, $C$ y $D$ cuatro matrices de dimensión $2 \times 3$, $1 \times 3$, $2 \times 3$ y $2 \times 3$ respectivamente. Indique, justificadamente, si se pueden realizar las siguientes operaciones:

(i) $AC$,

(ii) $D^{-1}A$,

(iii) $B(A + C)^{\top}$,

donde el superíndice $\top$ indica la matriz transpuesta y el superíndice $-1$ indica la matriz inversa. En caso afirmativo diga cuál es la dimensión de la matriz resultante. [2 puntos]

$\textbf{Sean } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{, } \boldsymbol{C}\textbf{ y } \boldsymbol{D}\textbf{ cuatro matrices de dimensión } \boldsymbol{2 \times 3}\textbf{, } \boldsymbol{1 \times 3}\textbf{, } \boldsymbol{2 \times 3}\textbf{ y } \boldsymbol{2 \times 3}\textbf{ respectivamente. Indique, justificadamente, si se pueden realizar las siguientes operaciones. [2 puntos]}$

Conviene recordar las dos reglas que deciden todo el ejercicio. El producto $M\cdot N$ existe solo si el número de columnas de $M$ coincide con el número de filas de $N$, y entonces el resultado tiene las filas de $M$ y las columnas de $N$. Y una matriz solo puede tener inversa si es cuadrada.

$A_{2\times 3},\qquad B_{1\times 3},\qquad C_{2\times 3},\qquad D_{2\times 3}$

$\textbf{(i) } \boldsymbol{AC}$

$A_{2\times 3}\cdot C_{2\times 3}:\quad 3\neq 2$

La matriz $A$ tiene 3 columnas y $C$ tiene 2 filas, así que no coinciden y el producto no se puede efectuar.

$\textbf{(ii) } \boldsymbol{D^{-1}A}$

$D_{2\times 3} \Rightarrow \text{no es cuadrada} \Rightarrow \nexists\, D^{-1}$

La matriz $D$ es de orden $2\times 3$, luego no es cuadrada y no tiene inversa. La operación no se puede realizar, y por tanto tampoco el producto que la usa.

$\textbf{(iii) } \boldsymbol{B(A + C)^{\top}}$

La suma $A+C$ sí está definida, porque las dos matrices tienen el mismo tamaño, y su resultado conserva ese tamaño. Al transponer se intercambian filas y columnas.

$A_{2\times 3}+C_{2\times 3}=(A+C)_{2\times 3} \Rightarrow (A+C)^{\top}_{3\times 2}$

$B_{1\times 3}\cdot (A+C)^{\top}_{3\times 2}:\quad 3=3$

Las columnas de $B$ y las filas de la transpuesta coinciden, de modo que el producto sí se puede realizar.

$B(A+C)^{\top} \ \text{es de dimensión } 1\times 2$

De las tres operaciones solo es posible la tercera, que da una matriz fila de dimensión $1\times 2$; las dos primeras no lo son, la primera porque los tamaños no encajan en el producto y la segunda porque una matriz rectangular no admite inversa.