Ejercicio resuelto de Volúmenes · Matemáticas II · 2025

Se consideran los puntos siguientes: $A(1, 2, 3)$, $B(-2, 1, 4)$, $C(3, 0, 5)$ y $D(0, -1, 2)$. Se pide:

a) Estudie si los puntos pertenecen a un mismo plano. [1 punto]

b) Calcule el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$. [0,75 puntos]

c) Calcule el volumen del tetraedro formado por los 4 puntos. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Estudie si los puntos pertenecen a un mismo plano. [1 punto]}$










Cuatro puntos son coplanarios cuando los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros tres son linealmente dependientes, es decir, cuando su producto mixto es nulo. Con origen en $A$:

$\overrightarrow{AB}=(-3,-1,1)$

$\overrightarrow{AC}=(2,-2,2)$

$\overrightarrow{AD}=(-1,-3,-1)$





$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=\begin{vmatrix} -3 & -1 & 1\\ 2 & -2 & 2\\ -1 & -3 & -1\end{vmatrix}=-3\,(2+6)+1\,(-2+2)+1\,(-6-2)$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=-24+0-8=-32\neq0$

El producto mixto no se anula, luego los cuatro puntos no son coplanarios: forman un tetraedro de verdad.

$\textbf{b) Calcule el área del triángulo de vértices A, B y C. [0,75 puntos]}$

El área de un triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados:

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \vec\imath & \vec\jmath & \vec k\\ -3 & -1 & 1\\ 2 & -2 & 2\end{vmatrix}=(-2+2)\vec\imath-(-6-2)\vec\jmath+(6+2)\vec k=(0,8,8)$

$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{0+64+64}=\sqrt{128}=8\sqrt2$

$\text{Área}=\frac12\cdot8\sqrt2=4\sqrt2\approx5{,}66\ \text{u}^2$

$\textbf{c) Calcule el volumen del tetraedro formado por los 4 puntos. [0,75 puntos]}$

El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto ya calculado en el apartado a):

$V=\frac16\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]\right|=\frac{|-32|}{6}$

$V=\frac{32}{6}=\frac{16}{3}\approx5{,}33\ \text{u}^3$

El tetraedro tiene un volumen de $\dfrac{16}{3}$ unidades cúbicas. El factor $\tfrac16$ sale de que el producto mixto mide el volumen del paralelepípedo, que contiene seis tetraedros como este.