Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2025

Sea $x \in \mathbb{R}$ y las matrices $A = \begin{pmatrix} x & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & x \end{pmatrix}$. Se pide:

a) Calcule los valores de $x \in \mathbb{R}$ para los cuales $B$ tiene inversa. [1 punto]

b) Para $x = 0$, calcule, en caso de que sea posible, $B^{-1}$. [1 punto]

c) Calcule los valores de $x$ para los cuales $\det(AB) = \det(A)$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de x reales para los cuales B tiene inversa. [1 punto]}$

Una matriz cuadrada tiene inversa exactamente cuando su determinante no es nulo, así que se calcula $\det(B)$ desarrollando por la primera fila:

$\det(B)=\begin{vmatrix} -1 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & x\end{vmatrix}=-1\,(x-1)+1\,(x-2)-2\,(1-2)$

$\det(B)=-x+1+x-2+2=1$

El resultado no depende de $x$: el determinante vale siempre 1. Por tanto $B$ tiene inversa para todo $x\in\mathbb{R}$, sin ninguna excepción.

$\textbf{b) Para x = 0, calcule, en caso de que sea posible, la inversa de B. [1 punto]}$

Con $x=0$:

$B=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\qquad \det(B)=1$

Se usa la fórmula $B^{-1}=\dfrac{1}{\det(B)}\,\big(\text{Adj}(B)\big)^{t}$. Los nueve adjuntos son

$A_{11}=-1,\quad A_{12}=2,\quad A_{13}=-1$

$A_{21}=-2,\quad A_{22}=4,\quad A_{23}=-1$

$A_{31}=1,\quad A_{32}=-1,\quad A_{33}=0$

y al trasponer la matriz adjunta y dividir por el determinante (que vale 1):

$B^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 1\\ 2 & 4 & -1\\ -1 & -1 & 0\end{pmatrix}$

Comprobación, imprescindible en este tipo de cálculo:

$B\,B^{-1}=\begin{pmatrix} -1 & -1 & -2\\ 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -2 & 1\\ 2 & 4 & -1\\ -1 & -1 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

$\textbf{c) Calcule los valores de x para los cuales det(AB) = det(A). [0,5 puntos]}$

El determinante de un producto es el producto de los determinantes:

$\det(AB)=\det(A)\cdot\det(B)=\det(A)\cdot1=\det(A)$

La igualdad se cumple, por tanto, para todos los valores de $x\in\mathbb{R}$, y no porque $\det(A)$ valga algo en concreto, sino porque $\det(B)=1$ siempre, como se vio en el apartado a).

Si se quiere, puede calcularse $\det(A)=3x+4$ y comprobar el resultado multiplicando las matrices, pero no hace falta: la propiedad del determinante del producto lo resuelve de un renglón.