Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2026

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Determine si la matriz $A$ es invertible. En caso afirmativo calcule $A^{-1}$. [0,75 puntos]

b) Resuelva la ecuación $AX + B - C = 0$. [1,75 puntos]

$\textbf{a) Determine si la matriz A es invertible. En caso afirmativo calcule su inversa. [0,75 puntos]}$

Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante no es nulo:

$\det(A)=\begin{vmatrix} 3 & 2\\ -1 & -1\end{vmatrix}=3\cdot(-1)-2\cdot(-1)=-3+2=-1\neq0$

luego $A$ sí es invertible. Para una matriz $2\times2$ la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante:

$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 3\end{pmatrix}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 3\end{pmatrix}$

$A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -1 & -3\end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$A\,A^{-1}=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -1 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$

$\textbf{b) Resuelva la ecuación AX + B - C = 0. [1,75 puntos]}$

Se despeja $X$ operando con matrices, y con cuidado: como el producto de matrices no es conmutativo, hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda en los dos miembros.

$AX+B-C=0\Rightarrow AX=C-B\Rightarrow A^{-1}A\,X=A^{-1}(C-B)\Rightarrow X=A^{-1}(C-B)$

Antes de nada, el tamaño: $A$ es $2\times2$ y $B$ y $C$ son $2\times4$, de modo que $X$ ha de ser $2\times4$ para que todas las operaciones tengan sentido.

$C-B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -2\\ 1 & 1 & -2 & 0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -2\\ 2 & 0 & -2 & -1\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 1 & 2\\ -1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -2\\ 2 & 0 & -2 & -1\end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 & -4\\ -7 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}$

Comprobación, que conviene hacer siempre en estos ejercicios:

$A\,X=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 & -4\\ -7 & 2 & 3 & 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -2\\ 2 & 0 & -2 & -1\end{pmatrix}=C-B$