Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2026

Para cada $a \in \mathbb{R}$ se considera la matriz $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 \\ 0 & 3 & -4 \\ a & 2 & -3 \end{pmatrix}$. Se pide:

a) Calcule todos los valores de $a \in \mathbb{R}$ que hacen que $A^2 = I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

b) Si una matriz $B$ de tamaño $3 \times 3$ verifica que $B^2 = 2I$, ¿qué valores puede tomar $\det(B)$? [0,5 puntos]

c) Calcule el rango y el determinante de la matriz $A$ para cada valor de $a \in \mathbb{R}$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule todos los valores de a reales que hacen que A² = I, donde I es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]}$

Se calcula el producto $A\cdot A$ dejando $a$ como parámetro:

$A^2=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2\\ 0 & 3 & -4\\ a & 2 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 & -2\\ 0 & 3 & -4\\ a & 2 & -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-2a & 0 & 0\\ -4a & 1 & 0\\ -4a & 2a & 1-2a\end{pmatrix}$

Para que $A^2=I$ han de cumplirse a la vez

$1-2a=1,\qquad -4a=0,\qquad 2a=0$

y las tres conducen a lo mismo. El único valor es

$a=0$

Con $a=0$ se comprueba que, en efecto, $A^2=I$: la matriz es su propia inversa (una involución).

$\textbf{b) Si una matriz B de tamaño 3 × 3 verifica que B² = 2I, ¿qué valores puede tomar det(B)? [0,5 puntos]}$

Se toman determinantes en la igualdad, usando que el determinante de un producto es el producto de determinantes y que al multiplicar una matriz $3\times3$ por un escalar el determinante queda multiplicado por el cubo de ese escalar:

$\det(B^2)=\det(B)^2\qquad \det(2I)=2^3\det(I)=8$

$\det(B)^2=8\Rightarrow \det(B)=\pm\sqrt{8}=\pm2\sqrt{2}$

Los dos valores posibles son $2\sqrt2$ y $-2\sqrt2$. Obsérvese el contraste con el apartado a): allí $A^2=I$ obligaba a $\det(A)=\pm1$, y en efecto para $a=0$ el determinante vale 1.

$\textbf{c) Calcule el rango y el determinante de la matriz A para cada valor de a real. [1 punto]}$

Desarrollando por la primera fila:

$\det(A)=-1\begin{vmatrix}3&-4\\2&-3\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}0&-4\\a&-3\end{vmatrix}+(-2)\begin{vmatrix}0&3\\a&2\end{vmatrix}$

$\det(A)=-1\,(-9+8)-2\,(0+4a)-2\,(0-3a)=1-8a+6a=1-2a$

Se anula solo para $a=\tfrac12$, de modo que:

$\textbf{Si }a\neq\tfrac12$: $\det(A)=1-2a\neq0$ y $\operatorname{rg}(A)=3$.

$\textbf{Si }a=\tfrac12$: $\det(A)=0$, luego el rango es menor que 3; y como el menor formado por las dos primeras filas y columnas vale

$\begin{vmatrix}-1&2\\0&3\end{vmatrix}=-3\neq0$

el rango es exactamente 2.

En resumen, $\det(A)=1-2a$ siempre, y el rango es 3 salvo para $a=\tfrac12$, donde baja a 2. Coherentemente, para $a=0$ sale $\det(A)=1$, como exigía el apartado a).