Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2023

Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que $P(A) = 0{,}6$, $P(B) = 0{,}3$ y $P(A/B) = 0{,}6$. Se pide:

a) $P(A \cup B)$ [0,5 puntos]

b) $P(A - B) + P(B - A)$ [0,75 puntos]

c) $P(B/A^{c})$ [0,75 puntos]

d) Razone si los sucesos $A$ y $B$ son independientes. ¿Son incompatibles? [0,5 puntos]

$\textbf{a) } \boldsymbol{P(A \cup B)}\textbf{ [0,5 puntos]}$

De la definición de probabilidad condicionada, $P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$, se despeja la intersección, que es lo que hace falta para todos los apartados.

$P(A\cap B)=P(A/B)\cdot P(B)=0{,}6\cdot 0{,}3=0{,}18$

Aplicamos ahora la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}6+0{,}3-0{,}18=0{,}72$

El reparto de la probabilidad entre las cuatro zonas del espacio muestral queda así:



La probabilidad de la unión es $P(A\cup B)=0{,}72$.

$\textbf{b) } \boldsymbol{P(A - B) + P(B - A)}\textbf{ [0,75 puntos]}$

Cada diferencia está formada por los sucesos elementales que están en uno de los dos conjuntos pero no en el otro.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)=0{,}6-0{,}18=0{,}42$

$P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=0{,}3-0{,}18=0{,}12$

$P(A-B)+P(B-A)=0{,}42+0{,}12=0{,}54$

La suma pedida vale $0{,}54$, que es la probabilidad de que ocurra uno solo de los dos sucesos.

$\textbf{c) } \boldsymbol{P(B/A^{c})}\textbf{ [0,75 puntos]}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada al suceso contrario de $A$.

$P(A^{c})=1-P(A)=1-0{,}6=0{,}4$

$P(B\cap A^{c})=P(B-A)=0{,}12$

$P(B/A^{c})=\dfrac{P(B\cap A^{c})}{P(A^{c})}=\dfrac{0{,}12}{0{,}4}=0{,}3$

La probabilidad pedida es $P(B/A^{c})=0{,}3$.

$\textbf{d) Razone si los sucesos } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ son independientes. ¿Son incompatibles? [0,5 puntos]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=0{,}6\cdot 0{,}3=0{,}18=P(A\cap B)$

Se cumple la igualdad, lo que ya anunciaban los apartados anteriores: $P(A/B)=0{,}6=P(A)$ y $P(B/A^{c})=0{,}3=P(B)$, es decir, saber lo que ocurre con un suceso no cambia la probabilidad del otro.

Dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es el suceso imposible, y aquí

$P(A\cap B)=0{,}18\neq 0$

Los sucesos $A$ y $B$ son independientes, pero no son incompatibles.