Ejercicio resuelto de Diagramas de Venn · Matemáticas CCSS · 2025

En un determinado centro educativo, el 50 % del alumnado aprueba Historia, el 70 % aprueba Matemáticas y el 30 % aprueba ambas asignaturas. Si se elige un alumno al azar:

a) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas. [0,75 puntos]

b) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura. [0,5 puntos]

c) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas. [0,75 puntos]

d) Determine si los sucesos «Aprobar Matemáticas» y «Aprobar Historia» son independientes. ¿Son incompatibles? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas. [0,75 puntos]}$

Llamamos $H$ al suceso «aprobar Historia» y $M$ al suceso «aprobar Matemáticas». Los datos del enunciado son $P(H)=0{,}5$, $P(M)=0{,}7$ y $P(H\cap M)=0{,}3$. Con ellos se reparte la probabilidad entre las cuatro zonas del espacio muestral.



Aprobar solo una de las dos asignaturas es aprobar alguna pero no las dos, es decir, la unión menos la intersección.

$P(H\cup M)=P(H)+P(M)-P(H\cap M)=0{,}5+0{,}7-0{,}3=0{,}9$

$P(\text{solo una})=P(H\cup M)-P(H\cap M)=0{,}9-0{,}3=0{,}6$

La probabilidad de que el alumno elegido apruebe solo una de las dos asignaturas es $0{,}6$.

$\textbf{b) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura. [0,5 puntos]}$

No aprobar más de una asignatura es aprobar ninguna o una sola, es decir, el suceso contrario de aprobar las dos.

$P(\text{no más de una})=1-P(H\cap M)=1-0{,}3=0{,}7$

La probabilidad de que no apruebe más de una asignatura es $0{,}7$.

$\textbf{c) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas. [0,75 puntos]}$

Se pide una probabilidad condicionada al suceso «suspender Matemáticas», que es $M^{c}$.

$P(M^{c})=1-P(M)=1-0{,}7=0{,}3$

$P(H\cap M^{c})=P(H)-P(H\cap M)=0{,}5-0{,}3=0{,}2$

$P(H/M^{c})=\dfrac{P(H\cap M^{c})}{P(M^{c})}=\dfrac{0{,}2}{0{,}3}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$

La probabilidad de que apruebe Historia sabiendo que ha suspendido Matemáticas es $\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$.

$\textbf{d) Determine si los sucesos «Aprobar Matemáticas» y «Aprobar Historia» son independientes. ¿Son incompatibles? [0,5 puntos]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades.

$P(H)\cdot P(M)=0{,}5\cdot 0{,}7=0{,}35 \qquad P(H\cap M)=0{,}3$

$0{,}35\neq 0{,}3$

Dos sucesos son incompatibles cuando su intersección es el suceso imposible, y aquí

$P(H\cap M)=0{,}3\neq 0$

Los sucesos «Aprobar Matemáticas» y «Aprobar Historia» no son independientes —aprobar una asignatura influye en la probabilidad de aprobar la otra— y tampoco son incompatibles, porque el 30 \% del alumnado aprueba las dos.