Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite de 500 kg se sitúa a una altura de 1200 km sobre la superficie de la Tierra en órbita circular. Determine:

a) ¿Cuánto ha variado la energía potencial gravitatoria del satélite respecto a la que tenía en la superficie de la Tierra?

b) ¿Cuál sería la energía mecánica en esa órbita?

Datos: radio de la Tierra $R_T=\mathrm{6,4}\cdot {10}^3\text{ km}$; masa de la Tierra $M_T=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; constante de la gravitación universal $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{variado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra?}}$










El radio de la órbita es el radio terrestre más la altura:

$r=R_T+h=\mathrm{6,4}\cdot {10}^6+\mathrm{1,2}\cdot {10}^6=\mathrm{7,6}\cdot {10}^6\text{ m}$

La energía potencial gravitatoria de una masa a distancia $r$ del centro es:

$E_p=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}$





La variación es la diferencia entre los dos valores:

$\mathrm{\Delta }{E}_p=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}+{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}=G{M}_{T}m({\displaystyle \frac{1}{R_T}}-{\displaystyle \frac{1}{r}})$

$\mathrm{\Delta }{E}_p=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 500({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{6,4}\cdot {10}^6}}-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{7,6}\cdot {10}^6}})$

$\mathrm{\Delta }{E}_p=\mathrm{4,96}\cdot {10}^9\text{ J}$

La energía potencial ha AUMENTADO en $\mathrm{4,96}\cdot {10}^9\text{ J}$. Sigue siendo negativa en los dos puntos, pero menos negativa arriba: subir cuesta energía.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esa}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita?}}$

Para una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, y de ahí sale la energía cinética:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

Sumando la potencial:

$E={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

$E=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 500}{2\cdot \mathrm{7,6}\cdot {10}^6}}$

$E=-\mathrm{1,32}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La energía mecánica en la órbita es de $-\mathrm{1,32}\cdot {10}^{10}\text{ J}$. Es negativa, como corresponde a un satélite ligado a la Tierra, y su valor absoluto es la energía que habría que aportarle para mandarlo al infinito.