Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

El planeta Mercurio tiene una gravedad en su superficie de 0,376 veces la terrestre y su radio es 0,38 veces el radio terrestre.

a) Obtenga la masa de Mercurio.

b) Determine la velocidad de escape desde la superficie de Mercurio.

Datos: radio de la Tierra $R_T=\mathrm{6,4}\cdot {10}^3\text{ km}$; constante de gravitación universal $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Mercurio.}}$










Se calculan primero la gravedad y el radio de Mercurio a partir de los factores del enunciado, tomando la gravedad terrestre en su valor habitual, $g_T=\mathrm{9,8}{\text{m/s}}^2$:

$g_M=\mathrm{0,376}\cdot \mathrm{9,8}=\mathrm{3,68}{\text{m/s}}^2$

$R_M=\mathrm{0,38}\cdot \mathrm{6,4}\cdot {10}^6=\mathrm{2,43}\cdot {10}^6\text{ m}$





La gravedad en la superficie es el módulo del campo gravitatorio a la distancia del radio, y de ahí se despeja la masa:

$g_M=G{\displaystyle \frac{M_M}{R_M^2}}\Rightarrow M_M={\displaystyle \frac{g_M{R}_M^2}{G}}$

$M_M={\displaystyle \frac{\mathrm{3,68}\cdot {(\mathrm{2,43}\cdot {10}^6)}^2}{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}}}$

$M_M=\mathrm{3,25}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$

La masa de Mercurio es de $\mathrm{3,25}\cdot {10}^{23}\text{ kg}$, unas dieciocho veces menor que la de la Tierra.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Mercurio.}}$

Escapar significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con velocidad nula en el caso límite. Conservando la energía mecánica:

$-G{\displaystyle \frac{M_{M}m}{R_M}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_M}{R_M}}}$

Conviene escribirla con la gravedad, que ya se conoce, usando $G{M}_M=g_M{R}_M^2$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2g_M{R}_M}=\sqrt{2\cdot \mathrm{3,68}\cdot \mathrm{2,43}\cdot {10}^6}$

$v_{\text{esc}}=\mathrm{4,23}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde Mercurio es de $\mathrm{4,23}\text{ km/s}$, poco más de la tercera parte de la terrestre. Ahí está la razón de que Mercurio no haya podido retener atmósfera.