Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite de $3\cdot {10}^3\text{ kg}$ describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 200 km sobre la superficie terrestre. Se quiere pasar el satélite a otra órbita circular a una altura de 400 km sobre la superficie terrestre. Calcule la energía necesaria para cambiar al satélite de órbita.

Datos: radio de la Tierra $R_T=6400\text{ km}$; masa de la Tierra $M_T=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; constante de gravitación universal $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$

$\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{cambiar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de centrípeta y de ahí sale una energía mecánica que solo depende del radio:

$E={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre las dos.



Se calculan los dos radios:

$r_1=6400+200=6600\text{ km}=\mathrm{6,6}\cdot {10}^6\text{ m}$

$r_2=6400+400=6800\text{ km}=\mathrm{6,8}\cdot {10}^6\text{ m}$

Y las dos energías:

$E_1=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 3\cdot {10}^3}{2\cdot \mathrm{6,6}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{9,10}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$E_2=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 3\cdot {10}^3}{2\cdot \mathrm{6,8}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{8,83}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$\mathrm{\Delta }E=E_2-E_1=-\mathrm{8,83}\cdot {10}^{10}+\mathrm{9,10}\cdot {10}^{10}$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{2,68}\cdot {10}^9\text{ J}$

Hay que suministrar al satélite $\mathrm{2,68}\cdot {10}^9\text{ J}$. El resultado es POSITIVO, como tenía que ser: subir de órbita cuesta energía, aunque en la órbita alta el satélite se mueva más despacio. Lo que gana en energía potencial supera con creces lo que pierde en cinética.