Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Un satélite artificial describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura 9000 km. Calcule:

a) La velocidad lineal a la que se mueve el satélite.

b) La velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre de un cuerpo situado a esa altura.

Datos: radio de la Tierra $R_T=6400\text{ km}$; masa de la Tierra $M_T=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; constante de gravitación universal $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{kg}}^2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}$










El radio de la órbita es el radio terrestre más la altura:

$r=R_T+h=6400+9000=15400\text{ km}=\mathrm{1,54}\cdot {10}^7\text{ m}$

Al ser la órbita circular, la fuerza gravitatoria es la única que actúa y hace de fuerza centrípeta.





$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{\mathrm{1,54}\cdot {10}^7}}}$

$v=\mathrm{5,10}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad orbital es de $\mathrm{5,10}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, unos 5,1 km/s.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{terrestre}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{altura.}}$

Escapar significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con velocidad nula en el caso límite. Imponiendo que la energía mecánica sea cero a esa distancia:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{r}}}$

Comparando con la expresión anterior se ve que las dos velocidades se diferencian solo en un factor $\sqrt{2}$:

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2}v=\mathrm{1,414}\cdot \mathrm{5,10}\cdot {10}^3$

$v_{\text{esc}}=\mathrm{7,21}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde esa altura es de $\mathrm{7,21}\cdot {10}^3\text{ m/s}$. La relación $v_{\text{esc}}=\sqrt{2}{v}_{\text{orb}}$ se cumple a cualquier distancia y conviene recordarla.