Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un satélite artificial se encuentra orbitando alrededor de la Tierra en órbita circular y a una altura $h=4000\text{ km}$ de la superficie de la Tierra.

a) Calcule la velocidad con la que se mueve ese satélite en dicha órbita.

b) Calcule la velocidad de escape de ese satélite desde su órbita.

Datos: constante de gravitación universal $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra $M_{\text{T}}\approx 6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra $R_{\text{T}}\approx 6400\text{ km}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mueve}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$










El radio de la órbita es el radio terrestre más la altura:

$r=R_T+h=6400+4000=10400\text{ km}$

$r=\mathrm{1,04}\cdot {10}^7\text{ m}$

Al ser la órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta.





$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{\mathrm{1,04}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{6,20}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad orbital es de $\mathrm{6,20}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, unos 6,2 km/s.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escape}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{su}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

Escapar significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con velocidad nula en el caso límite. Imponiendo que la energía mecánica sea cero a la distancia $r$:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{r}}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{2}\cdot v=\sqrt{2}\cdot \mathrm{6,20}\cdot {10}^3$

$v_{\text{esc}}=\mathrm{8,77}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de escape desde esa órbita es de $\mathrm{8,77}\cdot {10}^3\text{ m/s}$. La relación $v_{\text{esc}}=\sqrt{2}{v}_{\text{orb}}$ se cumple a cualquier distancia y merece la pena recordarla: basta multiplicar la velocidad orbital por 1,414.