Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite artificial de masa $m_1=1000\text{ kg}$ describe una órbita circular alrededor de la Tierra. Se sabe que la energía total que tiene ese satélite es $E=-3\cdot {10}^{10}\text{ J}$.

a) Calcule la altura $h$ sobre la superficie de la Tierra a la que orbita ese satélite.

b) Calcule la velocidad $v_1$ de ese satélite de masa $m_1$ en esa órbita circular.

c) En un cierto instante, el satélite de masa $m_1$ se acopla a otro satélite de masa $m_2=500\text{ kg}$, de forma que, tras el acoplamiento, ambos satélites viajan juntos. Sabiendo que tras el acoplamiento la velocidad del conjunto se reduce un 10 % respecto a la velocidad $v_1$ que tenía el satélite de masa $m_1$ inicialmente, determine el radio de la nueva órbita conjunta, supuesta circular.

Datos: radio de la Tierra $R_T=\mathrm{6,4}\cdot {10}^3\text{ km}$; masa de la Tierra $M_T=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; constante de la gravitación universal $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathit{h}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbita}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}$










Para una órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de centrípeta y de ahí sale la energía cinética en función del radio:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

Sumando la energía potencial resulta una energía mecánica que solo depende del radio:

$E=-{\displaystyle \frac{G{M}_T{m}_1}{2r}}$





Despejando el radio y sustituyendo los datos:

$r=-{\displaystyle \frac{G{M}_T{m}_1}{2E}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 1000}{2\cdot (-3\cdot {10}^{10})}}$

$r=\mathrm{6,7}\cdot {10}^6\text{ m}$

$h=r-R_T=\mathrm{6,7}\cdot {10}^6-\mathrm{6,4}\cdot {10}^6=\mathrm{3,0}\cdot {10}^5\text{ m}$

El satélite orbita a $\mathrm{3,0}\cdot {10}^5\text{ m}$ de altura, es decir, a 300 km sobre la superficie.



$v_1=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,7}\cdot {10}^6}}}$

$v_1=\mathrm{7,75}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad orbital es de $\mathrm{7,75}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, unos 7,7 km/s, la típica de una órbita baja.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{conjunta,}}\mathbf{\text{supuesta}}\mathbf{\text{circular.}}$

La velocidad del conjunto se reduce un 10 %:

$v_2=\mathrm{0,9}{v}_1=\mathrm{0,9}\cdot \mathrm{7,75}\cdot {10}^3=\mathrm{6,97}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

En cualquier órbita circular se sigue cumpliendo la misma relación entre velocidad y radio, y conviene notar que en ella NO aparece la masa del satélite: da igual que ahora sean 1500 kg.

$v_2^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r_2}}\Rightarrow r_2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{v_2^2}}$

$r_2={\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{{(\mathrm{6,97}\cdot {10}^3)}^2}}=\mathrm{8,27}\cdot {10}^6\text{ m}$

El radio de la nueva órbita es de $\mathrm{8,27}\cdot {10}^6\text{ m}$, lo que equivale a una altura de 1872 km sobre la superficie. Se puede obtener sin sustituir números: como $r\propto 1\mathrm{/}{v}^2$, al multiplicar la velocidad por 0,9 el radio se multiplica por $1\mathrm{/}\mathrm{0,81}=\mathrm{1,23}$.