Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Una partícula de masa $M_1$ se encuentra en el origen de coordenadas del plano $xy$. La componente $x$ del campo gravitatorio creado por esa partícula en el punto $(2,2)\text{ m}$ es $-\mathrm{1,18}\cdot {10}^{-11}\text{ N/kg}$.

a) Calcule el valor de la masa $M_1$.

b) ¿Cuál es el trabajo que realiza el campo gravitatorio creado por la masa $M_1$ para llevar otra partícula de masa $M_2=5\text{ kg}$ desde el punto $(4,0)\text{ m}$ al punto $(2,2)\text{ m}$?

Dato: constante de la gravitación universal $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

El campo gravitatorio creado por una masa puntual apunta siempre HACIA ella:

$\vec{g}=-G{\displaystyle \frac{M_1}{r^2}}{\vec{u}}_r$

La distancia del origen al punto $(2,2)$ es:

$r=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}=\mathrm{2,83}\text{ m}$





El vector unitario que va del origen al punto es ${\vec{u}}_r=(\frac{2}{2\sqrt{2}},\frac{2}{2\sqrt{2}})$, de modo que la componente X del campo vale:

$g_x=-G{\displaystyle \frac{M_1}{r^2}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{r}}=-{\displaystyle \frac{2G{M}_1}{r^3}}$

El signo negativo es coherente con el dato del enunciado. Despejando la masa:

$M_1={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{g}_x\mathrm{\mid }{r}^3}{2G}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,18}\cdot {10}^{-11}\cdot {\left(2\sqrt{2}\right)}^3}{2\cdot \mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}}}$

$M_1=\mathrm{1,99}\text{ kg}$

La masa vale $M_1\simeq 2\text{ kg}$.



El campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo que realiza no depende del camino y es igual a la disminución de la energía potencial:

$W=-\mathrm{\Delta }{E}_p=M_2(V_i-V_f)$

Se calculan los dos potenciales, sabiendo que el punto inicial está a 4 m del origen y el final a $2\sqrt{2}=\mathrm{2,83}\text{ m}$:

$V_i=-G{\displaystyle \frac{M_1}{4}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,99}}{4}}=-\mathrm{3,34}\cdot {10}^{-11}\text{ J/kg}$

$V_f=-G{\displaystyle \frac{M_1}{\mathrm{2,83}}}=-\mathrm{4,72}\cdot {10}^{-11}\text{ J/kg}$

$W=5(-\mathrm{3,34}\cdot {10}^{-11}+\mathrm{4,72}\cdot {10}^{-11})$

$W=\mathrm{6,91}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$

El trabajo que realiza el campo es de $\mathrm{6,91}\cdot {10}^{-11}\text{ J}$, y es POSITIVO: la partícula se acerca a la masa que la atrae, así que el campo trabaja a favor del desplazamiento y la energía potencial del sistema disminuye.