Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Determine el punto de la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna en el que el campo gravitatorio es cero. Tome como distancia Tierra-Luna el valor $\mathrm{3,84}\cdot {10}^5\text{ km}$, y considere que la masa de la Luna es 0,0123 veces la masa de la Tierra.

$\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nea}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{une}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{centro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{cero.}}$










El campo que crea cada astro apunta siempre HACIA él, de modo que solo pueden cancelarse en un punto situado ENTRE los dos: fuera del segmento los dos campos van en el mismo sentido y se suman.

Sea $x$ la distancia desde el centro de la Tierra al punto buscado.





Se impone que los dos módulos sean iguales:

$G{\displaystyle \frac{M_T}{x^2}}=G{\displaystyle \frac{M_L}{(d-x{)}^2}}$

La constante $G$ se simplifica, y también la masa de la Tierra si se escribe la de la Luna en función de ella:

${\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0123}}{(d-x{)}^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{d-x}{x}}=\sqrt{\mathrm{0,0123}}=\mathrm{0,1109}$

Se ha tomado la raíz positiva porque $x$ y $d-x$ son las dos distancias, y ambas son positivas. Despejando:

$d-x=\mathrm{0,1109}x\Rightarrow d=\mathrm{1,1109}x$

$x={\displaystyle \frac{d}{\mathrm{1,1109}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{3,84}\cdot {10}^8}{\mathrm{1,1109}}}$

$x=\mathrm{3,46}\cdot {10}^8\text{ m}$

El campo gravitatorio se anula a $\mathrm{3,46}\cdot {10}^8\text{ m}$ del centro de la Tierra, es decir, a unos 346 000 km, lo que deja el punto a solo $\mathrm{3,83}\cdot {10}^7\text{ m}$ del centro de la Luna. Está mucho más cerca de la Luna, como tenía que ser: su masa es 81 veces menor y su campo decae con el cuadrado de la distancia, así que necesita estar nueve veces más cerca para igualar al terrestre.