Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Calcule:

a) El trabajo que hay que realizar para trasladar un cuerpo de 20 kg desde la superficie de la Tierra hasta una altura igual al radio de la Tierra.

b) La velocidad mínima con la que habría que lanzarlo para que alcanzara dicha altura.

Datos: radio de la Tierra $R_T=\mathrm{6,4}\cdot {10}^3\text{ km}$; masa de la Tierra $M_T=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; constante de la gravitación universal $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{trabajo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{trasladar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cuerpo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{hasta}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}$










El campo gravitatorio es conservativo, de modo que el trabajo que debe realizar un agente exterior para llevar el cuerpo despacio de un punto a otro es la variación de la energía potencial:

$W_{\text{ext}}=\mathrm{\Delta }{E}_p=E_p(2R_T)-E_p(R_T)$

Al subir una altura igual al radio, la distancia al centro se DUPLICA.





$W_{\text{ext}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2R_T}}+{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2R_T}}$

$W_{\text{ext}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 20}{2\cdot \mathrm{6,4}\cdot {10}^6}}$

$W_{\text{ext}}=\mathrm{6,28}\cdot {10}^8\text{ J}$

Hay que realizar un trabajo de $\mathrm{6,28}\cdot {10}^8\text{ J}$. Obsérvese que NO es $mgh$, que daría $\mathrm{1,25}\cdot {10}^9\text{ J}$: esa aproximación solo vale cuando la altura es pequeña frente al radio terrestre, y aquí es justamente igual a él.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{lanzarlo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alcanzara}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{altura.}}$

Ahora no hay agente exterior: el cuerpo sube a costa de su propia energía cinética. Se conserva la energía mecánica y la velocidad mínima es la que hace que llegue arriba justo con velocidad nula:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}=0-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2R_T}}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2R_T}}=W_{\text{ext}}$

Es decir, la energía cinética inicial ha de ser exactamente el trabajo del apartado anterior:

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2W_{\text{ext}}}{m}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,28}\cdot {10}^8}{20}}}$

$v=\mathrm{7,93}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Habría que lanzarlo a $\mathrm{7,93}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, unos 7,9 km/s. Es menos que la velocidad de escape, $\mathrm{11,2}\text{ km/s}$, como tenía que ser: aquí no se pide que escape, solo que llegue a esa altura.