Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

El satélite Hispasat-4, de 3000 kg de masa, está en órbita geoestacionaria circular (periodo orbital de 24 h) alrededor de la Tierra.

a) Calcule la altura sobre la superficie de la Tierra a la que orbita ese satélite.

b) Calcule el módulo de la velocidad lineal con que orbita ese satélite.

c) Calcule la energía que es necesario suministrar al satélite para colocarlo en dicha órbita.

Datos: radio de la Tierra $R_T=\mathrm{6,4}\cdot {10}^3\text{ km}$; masa de la Tierra $M_T=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; constante de la gravitación universal $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbita}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}$

En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, y escribiendo la aceleración centrípeta en función del periodo resulta la tercera ley de Kepler:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}\Rightarrow r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{G{M}_T{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

Ser geoestacionario significa dar una vuelta en el mismo tiempo que la Tierra en girar sobre sí misma, es decir, $T=24\text{ h}=86400\text{ s}$.

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 86{400}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{4,24}\cdot {10}^7\text{ m}$

$h=r-R_T=\mathrm{4,24}\cdot {10}^7-\mathrm{6,4}\cdot {10}^6=\mathrm{3,60}\cdot {10}^7\text{ m}$

El satélite orbita a $\mathrm{3,60}\cdot {10}^7\text{ m}$ de altura, unos 36 000 km, que es la altura característica de todos los satélites geoestacionarios.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{lineal}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbita}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}$

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{4,24}\cdot {10}^7}{86400}}$

$v=\mathrm{3,08}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad orbital es de $\mathrm{3,08}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, unos 3,1 km/s: bastante menor que la de un satélite en órbita baja, porque está mucho más lejos.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{suministrar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{colocarlo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dicha}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre la energía mecánica que tiene en la órbita y la que tenía en la superficie, donde se supone en reposo:

$\mathrm{\Delta }E=E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}-E_{\text{superficie}}$

En la órbita, la energía mecánica de un satélite circular vale:

$E_{\acute{\text{o}}\text{rbita}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 3000}{2\cdot \mathrm{4,24}\cdot {10}^7}}=-\mathrm{1,42}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

En la superficie, en reposo, toda la energía es potencial:

$E_{\text{superficie}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{R_T}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 3000}{\mathrm{6,4}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{1,88}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

$\mathrm{\Delta }E=-\mathrm{1,42}\cdot {10}^{10}+\mathrm{1,88}\cdot {10}^{11}$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{1,74}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

Hay que suministrarle $\mathrm{1,74}\cdot {10}^{11}\text{ J}$. Se ha despreciado la energía cinética que el satélite ya tiene por la rotación terrestre, que es la razón por la que los lanzamientos se hacen hacia el este y desde latitudes bajas.