Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

Una nave espacial se encuentra describiendo una órbita circular alrededor de un cierto planeta esférico. La velocidad orbital de la nave es de 25000 km/h y tarda 5 horas en dar una vuelta completa alrededor del planeta.

a) Determine el radio de la órbita que describe la nave y la masa del planeta.

b) Si el radio del planeta es $R=5900\text{ km}$, calcule el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de dicho planeta.

Dato: constante de gravitación universal $G\approx \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$










El movimiento es circular y uniforme, de modo que en un periodo la nave recorre la longitud entera de la órbita:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{vT}{2\pi }}$

Se pasan los datos al Sistema Internacional:

$v=25000{\displaystyle \frac{\text{km}}{\text{h}}}=6944\text{ m/s}T=5\text{ h}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\text{ s}$





$r={\displaystyle \frac{6944\cdot \mathrm{1,8}\cdot {10}^4}{2\pi }}=\mathrm{1,99}\cdot {10}^7\text{ m}$

Para la masa se iguala la fuerza gravitatoria a la centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow M={\displaystyle \frac{v^{2}r}{G}}$

$M={\displaystyle \frac{{6944}^2\cdot \mathrm{1,99}\cdot {10}^7}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}}}=\mathrm{1,44}\cdot {10}^{25}\text{ kg}$

El radio de la órbita es de $\mathrm{1,99}\cdot {10}^7\text{ m}$ y la masa del planeta, de $\mathrm{1,44}\cdot {10}^{25}\text{ kg}$, algo más del doble de la masa de la Tierra.



La aceleración de la gravedad en la superficie es el módulo del campo gravitatorio a la distancia del radio:

$g=G{\displaystyle \frac{M}{R^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,44}\cdot {10}^{25}}{{(\mathrm{5,9}\cdot {10}^6)}^2}}$

$g=\mathrm{27,6}{\text{m/s}}^2$

En la superficie del planeta la gravedad vale $\mathrm{27,6}{\text{m/s}}^2$, casi tres veces la terrestre.