Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Una nave espacial describe una órbita circular en torno a un planeta esférico que habita los confines del Sistema Solar. Los sistemas de navegación de la nave indican que su velocidad orbital es de 2500 km/h y que tarda 5 horas en dar una vuelta completa alrededor del planeta.

a) Determine el radio de la órbita circular de la nave.

b) Calcule la masa del planeta.

c) Si la densidad del planeta es de $16150{\text{kg/m}}^3$, calcule el radio del planeta.

d) Calcule el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta.

Datos: constante de la gravitación universal $G=\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; volumen $V$ de una esfera de radio $r$: $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nave.}}$










El movimiento es circular y uniforme, de modo que en un periodo la nave recorre la longitud completa de la órbita:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}\Rightarrow r={\displaystyle \frac{vT}{2\pi }}$

Se pasan los datos al Sistema Internacional:

$v=2500{\displaystyle \frac{\text{km}}{\text{h}}}=694\text{ m/s}T=5\text{ h}=\mathrm{1,8}\cdot {10}^4\text{ s}$





$r={\displaystyle \frac{694\cdot \mathrm{1,8}\cdot {10}^4}{2\pi }}=\mathrm{1,99}\cdot {10}^6\text{ m}$

El radio de la órbita es de $\mathrm{1,99}\cdot {10}^6\text{ m}$, casi 2000 km.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$

En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow M={\displaystyle \frac{v^{2}r}{G}}$

$M={\displaystyle \frac{{694}^2\cdot \mathrm{1,99}\cdot {10}^6}{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}}}$

$M=\mathrm{1,43}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$

La masa del planeta es de $\mathrm{1,43}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$, unas cuatrocientas veces menor que la de la Tierra.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{densidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">16150</mn><mtext> </mtext><msup><mtext>kg/m</mtext><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msup></mrow>}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$

La densidad relaciona la masa con el volumen, y el volumen de una esfera con su radio:

$\rho ={\displaystyle \frac{M}{V}}\Rightarrow V={\displaystyle \frac{M}{\rho }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,43}\cdot {10}^{22}}{16150}}=\mathrm{8,87}\cdot {10}^{17}{\text{m}}^3$

$V={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi R^3\Rightarrow R=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3V}{4\pi }}}$

$R=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{8,87}\cdot {10}^{17}}{4\pi }}}=\mathrm{5,96}\cdot {10}^5\text{ m}$

El radio del planeta es de $\mathrm{5,96}\cdot {10}^5\text{ m}$, unos 596 km: es un planeta muy pequeño y muy denso, más que el hierro.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}$

La aceleración de la gravedad en la superficie es el módulo del campo gravitatorio a la distancia del radio:

$g=G{\displaystyle \frac{M}{R^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,7}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{1,43}\cdot {10}^{22}}{{(\mathrm{5,96}\cdot {10}^5)}^2}}$

$g=\mathrm{2,70}{\text{m/s}}^2$

En la superficie del planeta la gravedad vale $\mathrm{2,70}{\text{m/s}}^2$, algo más de la cuarta parte de la terrestre.