Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

El satélite de Júpiter Ío tiene un radio de $R_I\approx 1820\text{ km}$ y una masa de $M_I\approx \mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}\text{ kg}$.

a) Calcule el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie de Ío.

b) Calcule el periodo orbital de una sonda espacial que orbite en órbita circular alrededor de Ío a una altura de 500 km sobre la superficie de Ío.

Dato: constante de gravitación universal $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{I}}}\mathbf{\text{o.}}$










La aceleración de la gravedad en la superficie es el módulo del campo gravitatorio creado por el propio astro a la distancia de su radio:

$g=G{\displaystyle \frac{M_I}{R_I^2}}$





$g={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}}{{(\mathrm{1,82}\cdot {10}^6)}^2}}$

$g=\mathrm{1,80}{\text{m/s}}^2$

En la superficie de Ío la gravedad vale $\mathrm{1,80}{\text{m/s}}^2$, algo menos de la quinta parte de la terrestre y muy parecida a la de la Luna.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{orbite}}\mathbf{\text{en}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{I}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{500}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{I}}}\mathbf{\text{o.}}$

El radio de la órbita es el radio de Ío más la altura:

$r=R_I+h=1820+500=2320\text{ km}=\mathrm{2,32}\cdot {10}^6\text{ m}$

En la órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, y escribiendo la aceleración centrípeta en función del periodo se llega a la tercera ley de Kepler:

$G{\displaystyle \frac{M_{I}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}\Rightarrow T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_I}}}$

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{{(\mathrm{2,32}\cdot {10}^6)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{8,94}\cdot {10}^{22}}}}$

$T=\mathrm{9,09}\cdot {10}^3\text{ s}$

El periodo orbital de la sonda sería de $\mathrm{9,09}\cdot {10}^3\text{ s}$, es decir, unas 2,5 horas por vuelta.