Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2024

Una lámina de vidrio de caras planas y paralelas de 4 cm de espesor e índice de refracción $n_v=\mathrm{1,5}$ se encuentra rodeada de aire, cuyo índice de refracción es $n_a=1$. Un rayo de luz monocromática de frecuencia $f=4\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ incide desde el aire en la lámina con un ángulo de ${30}^{\circ }$. Determine:

a) La longitud de onda del rayo en el aire y en la lámina de vidrio.

b) El ángulo de refracción en la lámina de vidrio.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vidrio.}}$










La frecuencia es una característica del foco y NO cambia al pasar de un medio a otro; lo que cambia es la velocidad de propagación y, con ella, la longitud de onda.

En el aire la luz viaja prácticamente a $c$:

${\lambda }_a={\displaystyle \frac{c}{f}}$





${\lambda }_a={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{4\cdot {10}^{14}}}=\mathrm{7,5}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=750\text{ nm}$

Dentro del vidrio la velocidad se reduce en un factor igual al índice de refracción:

$v={\displaystyle \frac{c}{n_v}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,5}}}=2\cdot {10}^8\text{ m/s}$

${\lambda }_v={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^8}{4\cdot {10}^{14}}}=5\cdot {10}^{-7}\text{ m}=500\text{ nm}$

En el aire la longitud de onda es de 750 nm y en el vidrio, de 500 nm. Se puede obtener la segunda directamente de la primera, ${\lambda }_v={\lambda }_a\mathrm{/}{n}_v$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{vidrio.}}$

Se aplica la ley de Snell en la primera cara de la lámina:

$n_a\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n_v\text{sen}\widehat{r}$

$\text{sen}\widehat{r}={\displaystyle \frac{n_a\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}}{n_v}}={\displaystyle \frac{1\cdot \text{sen}{30}^{\circ }}{\mathrm{1,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,333}$

$\widehat{r}={\mathrm{19,5}}^{\circ }$

El rayo se refracta con un ángulo de ${\mathrm{19,5}}^{\circ }$. Al pasar a un medio más refringente el rayo se acerca a la normal, como tenía que ser. Conviene notar que, al ser la lámina de caras planas y paralelas, el rayo saldrá por la segunda cara otra vez a ${30}^{\circ }$, paralelo al incidente y solo desplazado lateralmente.