Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2024

Una placa de vidrio de índice de refracción 1,5 está sumergida en agua (índice de refracción 1,33). Un rayo de luz que incide desde el aire (índice de refracción 1) sobre la placa de vidrio con un cierto ángulo de incidencia ${\theta }_1$ describe el camino mostrado en la figura. Calcule el valor mínimo del ángulo de incidencia ${\theta }_1$ para que en el punto de incidencia P entre el vidrio y el agua el rayo no pase al agua.

Hay que encadenar dos superficies, y conviene empezar por la segunda, que es donde está la condición.

En P el rayo pasa del vidrio al agua. Como $n_v>n_{\text{agua}}$ puede haber reflexión total, y el ángulo límite es aquel cuyo rayo refractado saldría rasante:

$n_v\text{sen}{\theta }_L=n_{\text{agua}}\text{sen}{90}^{\circ }$





$\text{sen}{\theta }_L={\displaystyle \frac{n_{\text{agua}}}{n_v}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,33}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,887}\Rightarrow {\theta }_L={\mathrm{62,5}}^{\circ }$

Ahora hay que trasladar esa condición a la cara de entrada. La placa asoma por encima del agua: el rayo entra desde el aire por la cara SUPERIOR, que es horizontal, y llega a P en la cara LATERAL, que es vertical. Las dos normales son perpendiculares entre sí, de modo que el ángulo de refracción arriba y el de incidencia en P son complementarios:

${\theta }_P={90}^{\circ }-{\theta }_2$

Para que haya reflexión total hace falta ${\theta }_P\ge {\theta }_L$, es decir:

${90}^{\circ }-{\theta }_2\ge {\mathrm{62,5}}^{\circ }\Rightarrow {\theta }_2\le {\mathrm{27,5}}^{\circ }$

Y aplicando la ley de Snell en la cara superior:

$n_a\text{sen}{\theta }_1=n_v\text{sen}{\theta }_2$

$\text{sen}{\theta }_1\le \mathrm{1,5}\cdot \text{sen}{\mathrm{27,5}}^{\circ }=\mathrm{1,5}\cdot \mathrm{0,462}=\mathrm{0,694}$

${\theta }_1\le {\mathrm{43,9}}^{\circ }$

El ángulo de incidencia límite es ${\theta }_1={\mathrm{43,9}}^{\circ }$. Se puede escribir de forma compacta como $\text{sen}{\theta }_1=\sqrt{n_v^2-n_{\text{agua}}^2}=\sqrt{{\mathrm{1,5}}^2-{\mathrm{1,33}}^2}=\mathrm{0,694}$, que es la apertura numérica de una guía de luz.

Conviene una advertencia sobre el enunciado: la condición que sale de la geometría es un valor MÁXIMO, no mínimo. Cuanto mayor es ${\theta }_1$, mayor es ${\theta }_2$ y menor es el ángulo con el que el rayo llega a P, de modo que la reflexión total se pierde. El rayo queda atrapado en la placa si incide con un ángulo IGUAL O MENOR que ${\mathrm{43,9}}^{\circ }$.