Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2023

Un rayo de luz monocromático de frecuencia $f=6\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ incide desde el aire con un ángulo ${\theta }_1={60}^{\circ }$ sobre una lámina transparente de espesor $d=10\text{ cm}$ y un índice de refracción desconocido $n$ y se propaga como indica la figura.



a) Calcule la longitud de onda del rayo de luz en el aire.

b) Calcule el índice de refracción $n$ de la lámina.

c) Calcule la velocidad con la que viaja el rayo de luz en el interior de la lámina.

d) Calcule la longitud de onda del rayo de luz en el interior de la lámina.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire.}}$

En el aire la luz viaja prácticamente a la velocidad que tiene en el vacío:

${\lambda }_a={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{6\cdot {10}^{14}}}$

${\lambda }_a=5\cdot {10}^{-7}\text{ m}=500\text{ nm}$

Es luz visible, de color verde azulado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ndice}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{n}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina.}}$










El índice se obtiene de la ley de Snell, pero para aplicarla hace falta el ángulo de refracción, y ese no lo da el texto: hay que leerlo de la GEOMETRÍA de la figura.

La figura da el espesor de la lámina y el desplazamiento horizontal del rayo dentro de ella:

$d=10\text{ cm}s=10\text{ cm}$





El rayo refractado forma con la normal —que es vertical— un ángulo cuya tangente es el cociente entre el avance horizontal y el vertical:

$\tan {\theta }_2={\displaystyle \frac{s}{d}}={\displaystyle \frac{10}{10}}=1\Rightarrow {\theta }_2={45}^{\circ }$

Ahora sí, la ley de Snell en la cara superior:

$n_a\text{sen}{\theta }_1=n\text{sen}{\theta }_2$

$n={\displaystyle \frac{\text{sen}{60}^{\circ }}{\text{sen}{45}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,866}}{\mathrm{0,707}}}$

$n=\mathrm{1,22}$

El índice de refracción de la lámina es $n=\mathrm{1,22}$, un valor razonable para un material transparente poco denso.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viaja}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina.}}$

El índice de refracción es, por definición, el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio:

$n={\displaystyle \frac{c}{v}}\Rightarrow v={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,22}}}$

$v=\mathrm{2,45}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{interior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mina.}}$

La frecuencia es una característica del foco y no cambia al pasar de un medio a otro; lo que cambia es la velocidad y, con ella, la longitud de onda:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,45}\cdot {10}^8}{6\cdot {10}^{14}}}$

$\lambda =\mathrm{4,08}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=408\text{ nm}$

Dentro de la lámina la longitud de onda es de 408 nm. Se obtiene igual de rápido dividiendo la del aire entre el índice: $500\mathrm{/}\mathrm{1,22}=408\text{ nm}$.