Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2023

Un rayo láser de longitud de onda de 488 nm en el vacío incide desde un cierto material con un índice de refracción de 1,5 sobre la superficie plana de otro material de índice de refracción 1,2. Se observa que el rayo incidente y el reflejado forman entre sí un ángulo de ${60}^{\circ }$.

a) Calcule la velocidad del rayo luminoso en cada uno de los dos medios materiales.

b) Calcule la frecuencia del rayo luminoso en cada uno de los dos medios materiales.

c) Calcule el ángulo que formará el rayo de refracción en el segundo material.

d) ¿Existirá algún ángulo de incidencia para el cual el rayo láser sufra reflexión total? Justifique la respuesta y, en su caso, calcule dicho ángulo.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{luminoso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{medios}}\mathbf{\text{materiales.}}$

El índice de refracción es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio:

$v={\displaystyle \frac{c}{n}}$

$v_1={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,5}}}=2\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$v_2={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,2}}}=\mathrm{2,5}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

La luz viaja a $2\cdot {10}^8\text{ m/s}$ en el primer medio y a $\mathrm{2,5}\cdot {10}^8\text{ m/s}$ en el segundo, que es menos denso ópticamente.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{luminoso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{medios}}\mathbf{\text{materiales.}}$

La frecuencia es una característica del foco emisor y NO cambia al pasar de un medio a otro: lo que cambia es la velocidad y, con ella, la longitud de onda. Se calcula, por tanto, con los datos del vacío:

$f={\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_0}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{488\cdot {10}^{-9}}}$

$f=\mathrm{6,15}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$

La frecuencia es de $\mathrm{6,15}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ en los DOS medios.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{formar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{material.}}$










Primero hay que obtener el ángulo de incidencia, que el enunciado da de forma indirecta. Por la ley de la reflexión, el rayo reflejado forma con la normal el mismo ángulo que el incidente, de modo que el ángulo entre ambos es el DOBLE del de incidencia:

$2{\theta }_1={60}^{\circ }\Rightarrow {\theta }_1={30}^{\circ }$





Ahora se aplica la ley de Snell:

$n_1\text{sen}{\theta }_1=n_2\text{sen}{\theta }_2$

$\text{sen}{\theta }_2={\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}\cdot \text{sen}{30}^{\circ }}{\mathrm{1,2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,75}}{\mathrm{1,2}}}=\mathrm{0,625}$

${\theta }_2={\mathrm{38,7}}^{\circ }$

El rayo se refracta formando ${\mathrm{38,7}}^{\circ }$ con la normal. Al pasar a un medio menos refringente el rayo se ALEJA de la normal, como tenía que ser.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Existir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{incidencia}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{l}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{sufra}}\mathbf{\text{reflexi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{total?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{dicho}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo.}}$

Sí. La reflexión total solo puede darse cuando la luz va del medio MÁS refringente al menos refringente, y aquí se cumple:

$n_1=\mathrm{1,5}>n_2=\mathrm{1,2}$

El ángulo límite es aquel cuyo rayo refractado saldría rasante, es decir, con ${\theta }_2={90}^{\circ }$:

$n_1\text{sen}{\theta }_L=n_2\text{sen}{90}^{\circ }\Rightarrow \text{sen}{\theta }_L={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,2}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,8}$

${\theta }_L={\mathrm{53,1}}^{\circ }$

Existe reflexión total para todo ángulo de incidencia mayor o igual que ${\mathrm{53,1}}^{\circ }$. Con los ${30}^{\circ }$ del apartado anterior estamos muy por debajo, y por eso el rayo sí pasa al segundo medio.