Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2022

Se desea proyectar sobre una pantalla la imagen de una diapositiva empleando una lente delgada convergente de focal $f^{\mathrm{\prime }}=4\text{ cm}$ de forma que la imagen se proyecte invertida y con un tamaño 10 veces mayor que el de la diapositiva.

a) Calcule las distancias diapositiva-lente y lente-pantalla.

b) Dibuje un trazado de rayos que explique gráficamente el proceso de formación de la imagen.

Se trabaja con el criterio de signos habitual (DIN): la luz viaja de izquierda a derecha, el origen está en el centro óptico y las distancias medidas hacia la izquierda son negativas.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{distancias}}\mathbf{\text{diapositiva-lente}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{lente-pantalla.}}$

La imagen se recoge en una pantalla, luego es real, y el enunciado precisa que sale invertida y diez veces mayor. El aumento lateral es, por tanto:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-10\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-10s$

Se lleva esta relación a la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}$

${\displaystyle \frac{1}{-10s}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{-1-10}{10s}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$

$-{\displaystyle \frac{11}{10s}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\Rightarrow s=-\mathrm{4,4}\text{ cm}$

$s^{\mathrm{\prime }}=-10\cdot (-\mathrm{4,4})=44\text{ cm}$

La diapositiva hay que colocarla a 4,4 cm de la lente y la pantalla a 44 cm, al otro lado. Obsérvese que la diapositiva queda justo FUERA del foco, a solo 4 mm de él: es lo que hace falta para conseguir un aumento tan grande.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trazado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{explique}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{proceso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{formaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}$



Se han trazado los tres rayos principales desde el extremo del objeto: el paralelo al eje, que emerge por el foco imagen; el que pasa por el centro óptico, que no se desvía; y el que pasa por el foco objeto, que emerge paralelo al eje. Los tres se cortan realmente sobre la pantalla, en una imagen invertida y diez veces mayor. Esa es exactamente la geometría de un proyector: objeto muy cerca del foco y pantalla lejos.