Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2021

Según indica la figura, un haz de luz monocromática de frecuencia $f=5\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ incide desde el aire sobre un vidrio de índice de refracción $n=\mathrm{1,52}$ y anchura $d=10\text{ cm}$. Calcule:



a) La longitud de onda de la luz incidente en el aire y en el vidrio.

b) El ángulo que forma el haz de luz con la horizontal cuando atraviesa la interfase vidrio-aire y entra de nuevo en el aire por el punto P.

c) La altura $h$ del punto P en el que incide el rayo refractado en el vidrio cuando alcanza la interfase vidrio-aire.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{incidente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio.}}$

En el aire la luz viaja prácticamente a la velocidad que tiene en el vacío:

${\lambda }_a={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{5\cdot {10}^{14}}}=6\cdot {10}^{-7}\text{ m}=600\text{ nm}$

Dentro del vidrio la velocidad se reduce en un factor igual al índice de refracción, y con ella la longitud de onda; la frecuencia, en cambio, no cambia:

$v={\displaystyle \frac{c}{n}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,52}}}=\mathrm{1,97}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

${\lambda }_v={\displaystyle \frac{{\lambda }_a}{n}}={\displaystyle \frac{600}{\mathrm{1,52}}}=395\text{ nm}$

En el aire la longitud de onda es de 600 nm y en el vidrio, de 395 nm.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ngulo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{haz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{horizontal}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{atraviesa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{interfase}}\mathbf{\text{vidrio-aire}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{entra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nuevo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{aire}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P.}}$










Las dos caras del vidrio son planas y PARALELAS, de modo que el rayo se refracta dos veces en sentidos contrarios y sale con la misma inclinación con la que entró, solo desplazado lateralmente.

Formalmente, aplicando Snell en las dos caras:

$n_a\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}=n\text{sen}\widehat{r}=n_a\text{sen}\widehat{\mathrm{ı}}{}^{\mathrm{\prime }}$





luego $\widehat{\mathrm{ı}}{}^{\mathrm{\prime }}=\widehat{\mathrm{ı}}$. El haz sale de nuevo formando ${60}^{\circ }$ con la horizontal.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathit{h}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{incide}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{refractado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{interfase}}\mathbf{\text{vidrio-aire.}}$

Aquí está la trampa del problema. Las caras del vidrio son VERTICALES, así que su normal es HORIZONTAL, y el ángulo que da el enunciado está medido respecto de la horizontal. El ángulo de incidencia, que es el que entra en la ley de Snell, es el complementario:

${\theta }_1={90}^{\circ }-{60}^{\circ }={30}^{\circ }$

$n_a\text{sen}{30}^{\circ }=n\text{sen}{\theta }_2\Rightarrow \text{sen}{\theta }_2={\displaystyle \frac{\mathrm{0,5}}{\mathrm{1,52}}}=\mathrm{0,329}$

${\theta }_2={\mathrm{19,2}}^{\circ }$

Dentro del vidrio el rayo avanza formando ${\mathrm{19,2}}^{\circ }$ con la horizontal, de modo que al recorrer los 10 cm de anchura sube:

$h=d\tan {\theta }_2=\mathrm{0,10}\cdot \tan {\mathrm{19,2}}^{\circ }$

$h=\mathrm{3,48}\cdot {10}^{-2}\text{ m}=\mathrm{3,48}\text{ cm}$

El punto P está $\mathrm{3,48}\text{ cm}$ por encima del punto de entrada. Si se hubiera tomado por descuido el ángulo de incidencia igual a ${60}^{\circ }$, la altura habría salido más del doble.