Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2021

Un rayo de luz monocromática de frecuencia $f=5\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$, al incidir con un ángulo de ${60}^{\circ }$ en el punto A situado en la interfase entre el aire (índice de refracción $n_1=1$) y una lámina de vidrio (índice de refracción $n_2=\mathrm{1,52}$), se refracta. El rayo refractado alcanza al punto B, situado en la interfase entre el vidrio y el aceite (índice de refracción $n_3=\mathrm{1,45}$) y sufre una nueva refracción. Calcule:



a) El valor de los ángulos ${\theta }_2$ y ${\theta }_3$ que forman los rayos refractados con la normal.

b) La velocidad y la longitud de onda del rayo en el vidrio.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

Se aplica la ley de Snell en cada una de las dos interfases. En la primera, entre el aire y el vidrio:

$n_1\text{sen}{\theta }_1=n_2\text{sen}{\theta }_2$

$\text{sen}{\theta }_2={\displaystyle \frac{1\cdot \text{sen}{60}^{\circ }}{\mathrm{1,52}}}=\mathrm{0,570}$



${\theta }_2={\mathrm{34,7}}^{\circ }$

En la segunda, entre el vidrio y el aceite, el ángulo de incidencia es el mismo ${\theta }_2$, porque las dos caras son paralelas:

$n_2\text{sen}{\theta }_2=n_3\text{sen}{\theta }_3$

$\text{sen}{\theta }_3={\displaystyle \frac{\mathrm{1,52}\cdot \mathrm{0,570}}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{0,597}$

${\theta }_3={\mathrm{36,7}}^{\circ }$

Los ángulos son ${\theta }_2={\mathrm{34,7}}^{\circ }$ y ${\theta }_3={\mathrm{36,7}}^{\circ }$. Conviene notar el atajo: al ser todas las caras paralelas, el producto $n\text{sen}\theta$ se conserva a lo largo de toda la pila, de modo que ${\theta }_3$ se puede obtener directamente del aire al aceite, $\text{sen}{\theta }_3=\text{sen}{60}^{\circ }\mathrm{/}\mathrm{1,45}$, sin pasar por el vidrio.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vidrio.}}$

El índice de refracción es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y en el medio:

$v={\displaystyle \frac{c}{n_2}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{1,52}}}$

$v=\mathrm{1,97}\cdot {10}^8\text{ m/s}$

La frecuencia no cambia al pasar de un medio a otro, así que la longitud de onda en el vidrio se obtiene con la nueva velocidad:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,97}\cdot {10}^8}{5\cdot {10}^{14}}}$

$\lambda =\mathrm{3,95}\cdot {10}^{-7}\text{ m}=395\text{ nm}$

Dentro del vidrio la luz viaja a $\mathrm{1,97}\cdot {10}^8\text{ m/s}$ y su longitud de onda es de 395 nm, frente a los 600 nm que tenía en el aire.