Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2020

Calcule la altura mínima $d$ que debe tener un espejo de pared y a la altura $h$ respecto del suelo a la que hay que colocarlo para que una persona de 1,80 m de altura y cuyos ojos están a 10 cm por debajo de la parte superior de la cabeza, pueda ver su imagen completa en el espejo.

$\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathit{d}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{espejo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pared}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathit{h}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{suelo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{colocarlo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1,80}}\mathbf{\text{m}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cuyos}}\mathbf{\text{ojos}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{debajo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cabeza,}}\mathbf{\text{pueda}}\mathbf{\text{ver}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{imagen}}\mathbf{\text{completa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{espejo.}}$










De los datos del enunciado, la altura de los ojos sobre el suelo es:

$y_{\text{ojos}}=\mathrm{1,80}-\mathrm{0,10}=\mathrm{1,70}\text{ m}$

Todo el problema se resuelve con la ley de la reflexión, sin necesidad de la ecuación del espejo plano: el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.





i) Para ver sus PIES, el rayo que sale de ellos ha de reflejarse en el espejo y llegar al ojo. Al ser iguales los ángulos de incidencia y de reflexión, el punto de reflexión está exactamente a la mitad de altura entre los pies y los ojos:

$h={\displaystyle \frac{y_{\text{ojos}}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,70}}{2}}=\mathrm{0,85}\text{ m}$

Ese es el borde INFERIOR del espejo: por debajo de él, el espejo no sirve para nada.

ii) Para ver la CORONILLA, el mismo razonamiento sitúa el punto de reflexión a la mitad de altura entre los ojos y la parte superior de la cabeza:

$y_{\text{sup}}=y_{\text{ojos}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{1,80}-\mathrm{1,70}}{2}}=\mathrm{1,70}+\mathrm{0,05}=\mathrm{1,75}\text{ m}$

Ese es el borde SUPERIOR. La altura del espejo es la diferencia:

$d=\mathrm{1,75}-\mathrm{0,85}=\mathrm{0,90}\text{ m}$

El espejo debe medir $\mathrm{0,90}\text{ m}$ de alto y colocarse con su borde inferior a $\mathrm{0,85}\text{ m}$ del suelo. Obsérvese el resultado clásico: la altura mínima del espejo es siempre la MITAD de la altura de la persona, sea cual sea la distancia a la que se coloque delante de él. Lo que sí depende de la posición de los ojos es la altura a la que hay que colgarlo.