Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2022

Sean dos medios A y B de índices de refracción $n_A$ y $n_B$, respectivamente. Un rayo de luz de frecuencia $\mathrm{6,04}\cdot {10}^{14}\text{ Hz}$ incide desde el medio A hacia el medio B, verificándose que el ángulo límite para la reflexión total es ${45}^{\circ }$. Sabiendo que $n_A-n_B=\mathrm{0,6}$, determine:

a) Los índices de refracción $n_A$ y $n_B$ de ambos medios.

b) Las longitudes de onda del rayo de luz incidente en los medios A y B.

Dato: velocidad de la luz en el vacío $c=3\cdot {10}^8\text{ m/s}$

El ángulo límite es aquel para el que el rayo refractado sale rasante a la superficie, es decir, con ${90}^{\circ }$. Aplicando la ley de Snell:

$n_A\text{sen}{\theta }_L=n_B\text{sen}{90}^{\circ }$

$\text{sen}{45}^{\circ }={\displaystyle \frac{n_B}{n_A}}$



Esto ya dice que $n_A>n_B$, como tenía que ser para que exista reflexión total. Junto con el otro dato del enunciado se tiene un sistema de dos ecuaciones:

$n_B=n_A{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{n}_A-n_B=\mathrm{0,6}$

Sustituyendo la primera en la segunda:

$n_A(1-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}})=\mathrm{0,6}\Rightarrow n_A={\displaystyle \frac{\mathrm{0,6}}{\mathrm{0,2929}}}$

$n_A=\mathrm{2,05}{n}_B=\mathrm{2,05}-\mathrm{0,6}=\mathrm{1,45}$

Los índices son $n_A=\mathrm{2,05}$ y $n_B=\mathrm{1,45}$. Se comprueba el resultado: $\arcsin (\mathrm{1,45}\mathrm{/}\mathrm{2,05})={45}^{\circ }$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{longitudes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{rayo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{luz}}\mathbf{\text{incidente}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{medios}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B.}}$

La frecuencia es una característica del foco y no cambia de un medio a otro. Se calcula primero la longitud de onda en el vacío:

${\lambda }_0={\displaystyle \frac{c}{f}}={\displaystyle \frac{3\cdot {10}^8}{\mathrm{6,04}\cdot {10}^{14}}}=\mathrm{4,97}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

En un medio de índice $n$ la velocidad se reduce en ese factor y la longitud de onda también:

$\lambda ={\displaystyle \frac{v}{f}}={\displaystyle \frac{c}{nf}}={\displaystyle \frac{{\lambda }_0}{n}}$

${\lambda }_A={\displaystyle \frac{\mathrm{4,97}\cdot {10}^{-7}}{\mathrm{2,05}}}=\mathrm{2,42}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

${\lambda }_B={\displaystyle \frac{\mathrm{4,97}\cdot {10}^{-7}}{\mathrm{1,45}}}=\mathrm{3,43}\cdot {10}^{-7}\text{ m}$

En el medio A la longitud de onda es de 242 nm y en el B, de 343 nm. La luz, que en el vacío sería visible (497 nm, verde), se acorta al entrar en los dos medios, y tanto más cuanto mayor es el índice.