Ejercicio resuelto de Óptica · Física · La Rioja · 2024

Un objeto luminoso de 2,5 mm de tamaño se encuentra situado a 2 m a la izquierda de una pantalla. Mediante una lente delgada se quiere proyectar sobre la pantalla una imagen de ese objeto nueve veces más grande.

a) Razone qué tipo de lente hay que utilizar.

b) Determine la posición de la lente respecto a la pantalla.

c) Calcule la potencia de la lente que hay que utilizar.

d) Realice el esquema de rayos que muestre la formación de la imagen.

Se trabaja con el criterio de signos habitual (DIN): la luz viaja de izquierda a derecha, el origen está en el centro óptico de la lente y las distancias medidas hacia la izquierda son negativas.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{utilizar.}}$

La imagen se recoge sobre una pantalla, luego es real: los rayos se cortan de verdad en ella. Una lente divergente da siempre imágenes virtuales de un objeto real, de modo que la lente ha de ser convergente.

Además, al ser real, la imagen está invertida y el aumento lateral es negativo:

$\beta ={\displaystyle \frac{y^{\mathrm{\prime }}}{y}}=-9$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{posici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pantalla.}}$

La lente se coloca en algún punto entre el objeto y la pantalla, que distan 2 m. Llamando $a$ a la distancia del objeto a la lente:

$s=-a{s}^{\mathrm{\prime }}=2\text{ m}-a=200\text{ cm}-a$

El aumento lateral relaciona las dos posiciones:

$\beta ={\displaystyle \frac{s^{\mathrm{\prime }}}{s}}=-9\Rightarrow s^{\mathrm{\prime }}=-9s=9a$

Y sustituyendo en la condición de que la suma sea la distancia total:

$a+9a=200\Rightarrow a=20\text{ cm}$

$s=-20\text{ cm}{s}^{\mathrm{\prime }}=180\text{ cm}$

La lente hay que colocarla a 180 cm de la pantalla, es decir, a 1,8 m, y por tanto a 20 cm del objeto.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{potencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lente}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{utilizar.}}$

Se aplica la ecuación de las lentes delgadas:

${\displaystyle \frac{1}{s^{\mathrm{\prime }}}}-{\displaystyle \frac{1}{s}}={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{180}}+{\displaystyle \frac{1}{20}}={\displaystyle \frac{1+9}{180}}={\displaystyle \frac{1}{18}}$

$f^{\mathrm{\prime }}=18\text{ cm}=\mathrm{0,18}\text{ m}$

$P={\displaystyle \frac{1}{f^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,18}}}=\mathrm{5,56}\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$

La lente ha de tener una potencia de $\mathrm{5,56}\text{dioptr}\acute{\text{ı}}\text{as}$. El signo positivo confirma lo razonado en el apartado a).

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{rayos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{muestre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{formaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{imagen.}}$



El objeto está entre el foco objeto y el doble de la distancia focal, que es la única posición que da una imagen real, invertida y mayor. Se han trazado los tres rayos principales, que se cortan sobre la pantalla. La imagen mide $9\cdot \mathrm{2,5}=\mathrm{22,5}\text{ mm}$.