Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Un satélite artificial de masa $m$ describe una órbita circular alrededor de la Tierra a 350 km sobre la superficie terrestre. La energía mecánica total del satélite en esta órbita es de $-\mathrm{4,5}\cdot {10}^{10}\text{ J}$.

a) Calcule la masa $m$ del satélite.

b) El satélite es transferido a otra órbita circular en la que su nueva velocidad orbital es la mitad de la que tenía en la órbita inicial. Calcule la altura de la nueva órbita sobre la superficie terrestre y la energía mecánica total del satélite en la nueva órbita.

Datos: constante de gravitación universal $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra $M_{\text{T}}\approx 6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra $R_{\text{T}}\approx 6400\text{ km}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{masa}}\mathit{m}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}$

Para un satélite en órbita circular la velocidad orbital sale de igualar la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow v^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial:

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}$

$E_m=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

El radio de la órbita es el radio terrestre más la altura:

$r=R_T+h=6400\text{ km}+350\text{ km}=6750\text{ km}=\mathrm{6,75}\cdot {10}^6\text{ m}$

Despejando la masa del satélite:

$m=-{\displaystyle \frac{2r{E}_m}{G{M}_T}}=-{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,75}\cdot {10}^6\cdot (-\mathrm{4,5}\cdot {10}^{10})}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}}$

$m=\mathrm{1,52}\cdot {10}^3\text{ kg}$

La masa del satélite es de $\mathrm{1,52}\cdot {10}^3\text{ kg}$, aproximadamente 1518 kg.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{transferido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{otra}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{mitad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ten}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{inicial.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{sobre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{mec}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nueva}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita.}}$










En cualquier órbita circular se cumple $v^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}$, de modo que el radio y el cuadrado de la velocidad son inversamente proporcionales.

Si la velocidad se reduce a la mitad, el cuadrado se reduce a la cuarta parte y el radio se multiplica por cuatro.





${\displaystyle \frac{v^{\mathrm{\prime }2}}{v^2}}={\displaystyle \frac{r}{r^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{(v\mathrm{/}2{)}^2}{v^2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{r}{r^{\mathrm{\prime }}}}$

$r^{\mathrm{\prime }}=4r=4\cdot \mathrm{6,75}\cdot {10}^6=\mathrm{2,70}\cdot {10}^7\text{ m}$

La altura sobre la superficie terrestre es:

$h^{\mathrm{\prime }}=r^{\mathrm{\prime }}-R_T=\mathrm{2,70}\cdot {10}^7-\mathrm{6,4}\cdot {10}^6=\mathrm{2,06}\cdot {10}^7\text{ m}$

$h^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{2,06}\cdot {10}^4\text{ km}$

La energía mecánica en la nueva órbita se obtiene de la misma expresión, con el nuevo radio:

$E_m^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r^{\mathrm{\prime }}}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2\cdot 4r}}={\displaystyle \frac{E_m}{4}}$

$E_m^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{-\mathrm{4,5}\cdot {10}^{10}}{4}}=-\mathrm{1,125}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La nueva órbita está a $\mathrm{2,06}\cdot {10}^4\text{ km}$ de altura y en ella la energía mecánica del satélite es de $-\mathrm{1,125}\cdot {10}^{10}\text{ J}$. Sigue siendo negativa, como corresponde a un satélite ligado a la Tierra, pero cuatro veces menor en valor absoluto: subir de órbita exige aportar energía.