Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2026

Una sonda espacial de 1000 kg se lanza verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad inicial de 5 km/s.

a) Deduzca de forma razonada si la sonda espacial será capaz de escapar de la atracción gravitatoria de la Tierra.

b) Desde la superficie de la Tierra, esa misma sonda espacial se pone en órbita circular alrededor de la Tierra a una altura sobre su superficie igual al radio $R_{\text{T}}$ de la Tierra. Calcule la velocidad inicial de lanzamiento de la sonda.

Datos: constante de gravitación universal $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra $M_{\text{T}}\approx 6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra $R_{\text{T}}\approx 6400\text{ km}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{razonada}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{capaz}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{escapar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{atracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}$

Un cuerpo escapa del campo gravitatorio terrestre si es capaz de llegar al infinito, donde la energía potencial es nula. Se compara la velocidad de lanzamiento con la velocidad de escape, que se obtiene de la conservación de la energía mecánica entre la superficie y el infinito, imponiendo que allí llegue con velocidad nula:

$-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2=0+0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{R_T}}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{\mathrm{6,4}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{1,12}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

Como $v_0=5\text{ km/s}=5\cdot {10}^3\text{ m/s}$ es menor que $v_{\text{esc}}=\mathrm{11,2}\text{ km/s}$, la sonda no puede escapar.

El mismo razonamiento se puede hacer con el signo de la energía mecánica, que es lo que decide si el cuerpo está ligado al campo:

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}$

$E_m={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1000\cdot {(5\cdot {10}^3)}^2-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 1000}{\mathrm{6,4}\cdot {10}^6}}$

$E_m=\mathrm{1,25}\cdot {10}^{10}-\mathrm{6,25}\cdot {10}^{10}=-\mathrm{5,00}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La energía mecánica es negativa, luego la sonda queda ligada al campo gravitatorio terrestre y no escapa: subirá hasta una altura máxima de unos $\mathrm{1,6}\cdot {10}^6\text{ m}$ y volverá a caer.












El radio de la órbita es el radio terrestre más la altura, que aquí vale también $R_T$:

$r=R_T+h=2R_T=\mathrm{1,28}\cdot {10}^7\text{ m}$

En la órbita, la fuerza gravitatoria hace de centrípeta:

$v_{\text{orb}}^2={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}={\displaystyle \frac{G{M}_T}{2R_T}}$





$v_{\text{orb}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{\mathrm{1,28}\cdot {10}^7}}}=\mathrm{5,59}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

La velocidad de lanzamiento se obtiene conservando la energía mecánica entre la superficie y la órbita, porque la única fuerza que actúa es la gravitatoria, que es conservativa:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_L^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{R_T}}={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{orb}}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2R_T}}$

${\displaystyle \frac{1}{2}}{v}_L^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{G{M}_T}{2R_T}}+{\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}-{\displaystyle \frac{G{M}_T}{2R_T}}={\displaystyle \frac{3}{4}}{\displaystyle \frac{G{M}_T}{R_T}}$

$v_L=\sqrt{{\displaystyle \frac{3G{M}_T}{2R_T}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{3\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{2\cdot \mathrm{6,4}\cdot {10}^6}}}$

$v_L=\mathrm{9,69}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Hay que lanzar la sonda con una velocidad de $\mathrm{9,69}\text{ km/s}$. Es menor que la velocidad de escape, como tiene que ser: la sonda queda ligada a la Tierra, girando a su alrededor.