Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

En un cierto instante, un satélite artificial de 500 kg de masa gira alrededor de la Tierra en órbita circular de 500 km sobre la superficie de la Tierra. Si la energía total del satélite disminuye a razón de 7200 J por vuelta, ¿cuántas vueltas habrá completado cuando su altura se haya reducido a 400 km? Suponga que el satélite pasa por trayectorias solamente circulares.

Datos: constante de gravitación universal $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra $M_{\text{T}}\approx 6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra $R_{\text{T}}\approx 6400\text{ km}$

$\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite}}\mathbf{\text{disminuye}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{raz}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{7200}}\mathbf{\text{J}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{vuelta,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{vueltas}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{completado}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{reducido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{km?}}$

Para un satélite en órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, y de ahí sale la energía cinética en función del radio:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

Sumando la energía potencial se obtiene la energía mecánica total, que solo depende del radio:

$E={\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{G{M}_{T}m}{2r}}$

Se calculan los radios inicial y final:

$r_1=R_T+h_1=6400+500=6900\text{ km}=\mathrm{6,90}\cdot {10}^6\text{ m}$

$r_2=R_T+h_2=6400+400=6800\text{ km}=\mathrm{6,80}\cdot {10}^6\text{ m}$

Y las dos energías:

$E_1=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 500}{2\cdot \mathrm{6,90}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{1,4500}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$E_2=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 500}{2\cdot \mathrm{6,80}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{1,4713}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La energía que ha perdido el satélite es la diferencia entre ambas. Conviene fijarse en el signo: al bajar de órbita la energía mecánica se hace más negativa, es decir, disminuye.

$\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }E\mathrm{\mid }=E_1-E_2=\mathrm{1,4713}\cdot {10}^{10}-\mathrm{1,4500}\cdot {10}^{10}$

$\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }E\mathrm{\mid }=\mathrm{2,13}\cdot {10}^8\text{ J}$

Como en cada vuelta pierde 7200 J, el número de vueltas es el cociente:

$n={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\mathrm{\Delta }E\mathrm{\mid }}{7200}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,13}\cdot {10}^8}{7200}}$

$n=\mathrm{2,96}\cdot {10}^4\text{ vueltas}$

El satélite habrá completado unas $\mathrm{2,96}\cdot {10}^4$ vueltas, cerca de treinta mil, cuando su altura se haya reducido de 500 a 400 km. Obsérvese la aparente paradoja: al perder energía el satélite baja de órbita, pero su velocidad orbital aumenta, porque $v=\sqrt{G{M}_T\mathrm{/}r}$ crece al disminuir el radio. Lo que disminuye es la suma de la cinética y la potencial.