Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Una nave espacial describe órbitas circulares de radio 20000 km alrededor de la Tierra. ¿Cuál debe ser el incremento mínimo de su velocidad para conseguir escapar de la atracción gravitatoria de la Tierra?

Datos: constante de gravitación universal $G\approx \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}{\text{m}}^2{\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra $M_{\text{T}}\approx 6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$

$\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{nave}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{describe}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbitas}}\mathbf{\text{circulares}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{20000}}\mathbf{\text{km}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{incremento}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{conseguir}}\mathbf{\text{escapar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{atracci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra?}}$










En la órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de centrípeta y de ahí sale la velocidad orbital:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}={\displaystyle \frac{m{v}_{\text{orb}}^2}{r}}\Rightarrow v_{\text{orb}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$

Con $r=20000\text{ km}=2\cdot {10}^7\text{ m}$.





$v_{\text{orb}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{2\cdot {10}^7}}}=\mathrm{4,47}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Escapar significa llegar al infinito, donde la energía potencial es nula, con velocidad nula en el caso límite. La velocidad mínima que hay que tener a esa distancia es la velocidad de escape, y se obtiene imponiendo que la energía mecánica sea cero:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{\text{esc}}^2-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2G{M}_T}{r}}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{2\cdot {10}^7}}}=\mathrm{6,33}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Las dos velocidades se diferencian en un factor $\sqrt{2}$, de modo que el incremento pedido es:

$\mathrm{\Delta }v=v_{\text{esc}}-v_{\text{orb}}=(\sqrt{2}-1)v_{\text{orb}}$

$\mathrm{\Delta }v=\mathrm{6,33}\cdot {10}^3-\mathrm{4,47}\cdot {10}^3=\mathrm{1,85}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

Hay que aumentar la velocidad de la nave en $\mathrm{1,85}\cdot {10}^3\text{ m/s}$, es decir, unos 1,85 km/s, y hacerlo en la dirección del movimiento para aprovechar toda la velocidad que ya tiene. Es un 41,4 % de la velocidad orbital, porcentaje que no depende del radio de la órbita.