Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2025

Sabemos que la órbita de la Tierra alrededor del Sol es casi circular, que el radio de esa órbita es aproximadamente $\mathrm{1,5}\cdot {10}^8\text{ km}$, y que la Tierra tarda 365,25 días en dar una vuelta alrededor del Sol. Sabemos que Mercurio tiene un periodo de revolución alrededor del Sol de 88 días. Supuesta circular la órbita de Mercurio alrededor del Sol, únicamente con los datos del enunciado del problema, calcule la distancia de Mercurio al Sol.

$\mathbf{\text{Supuesta}}\mathbf{\text{circular}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Mercurio}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sol,}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nicamente}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{enunciado}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{problema,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Mercurio}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{Sol.}}$










Los dos planetas giran alrededor del mismo cuerpo central, de modo que se les puede aplicar la tercera ley de Kepler, que relaciona periodos y radios sin necesidad de conocer ni la constante de gravitación universal ni la masa del Sol:

${\displaystyle \frac{T_M^2}{r_M^3}}={\displaystyle \frac{T_T^2}{r_T^3}}$





Conviene recordar de dónde sale esa ley. Para una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta:

$G{\displaystyle \frac{M_{S}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{T^2}{r^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G{M}_S}}$

y el segundo miembro es el mismo para todos los planetas del sistema solar.

Despejando el radio de la órbita de Mercurio:

$r_M=r_T\sqrt[3]{{\left({\displaystyle \frac{T_M}{T_T}}\right)}^2}$

Los periodos vienen los dos en días, así que su cociente ya es adimensional y no hace falta pasarlos a segundos:

$r_M=\mathrm{1,5}\cdot {10}^8\text{ km}\cdot \sqrt[3]{{\left({\displaystyle \frac{88}{\mathrm{365,25}}}\right)}^2}=\mathrm{1,5}\cdot {10}^8\cdot \mathrm{0,387}$

$r_M=\mathrm{5,81}\cdot {10}^7\text{ km}=\mathrm{5,81}\cdot {10}^{10}\text{ m}$

Mercurio está a $\mathrm{5,81}\cdot {10}^{10}\text{ m}$ del Sol, es decir, a unos 0,39 unidades astronómicas: poco más de la tercera parte de la distancia Tierra-Sol, como corresponde al planeta más interior del sistema solar.